Leysa {l}{5x+7y=7}{3x+2y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 7 y = 7 } \\ { 3 x + 2 y = 11 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{63}{11} = 5\frac{8}{11} \approx 5.727272727$$

$$y = -\frac{34}{11} = -3\frac{1}{11} \approx -3.090909091$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x+7y=7,3x+2y=11$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x+7y=7$$

Dragðu 7y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5x=-7y+7$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-7y+7\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum -7y+7.

$$x=-\frac{7}{5}y+\frac{7}{5}$$

Settu \frac{-7y+7}{5} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x+2y=11.

$$3\left(-\frac{7}{5}y+\frac{7}{5}\right)+2y=11$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{-7y+7}{5}.

$$-\frac{21}{5}y+\frac{21}{5}+2y=11$$

Leggðu -\frac{21y}{5} saman við 2y.

$$-\frac{11}{5}y+\frac{21}{5}=11$$

Dragðu \frac{21}{5} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{11}{5}y=\frac{34}{5}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{11}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{34}{11}$$

Skiptu -\frac{34}{11} út fyrir y í x=-\frac{7}{5}y+\frac{7}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{7}{5}\left(-\frac{34}{11}\right)+\frac{7}{5}$$

Margfaldaðu -\frac{7}{5} sinnum -\frac{34}{11} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{238}{55}+\frac{7}{5}$$

Leggðu \frac{7}{5} saman við \frac{238}{55} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{63}{11}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{63}{11},y=-\frac{34}{11}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x+7y=7,3x+2y=11$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&7\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&7\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&7\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-7\times 3}&-\frac{7}{5\times 2-7\times 3}\\-\frac{3}{5\times 2-7\times 3}&\frac{5}{5\times 2-7\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}&\frac{7}{11}\\\frac{3}{11}&-\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}\times 7+\frac{7}{11}\times 11\\\frac{3}{11}\times 7-\frac{5}{11}\times 11\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{63}{11}\\-\frac{34}{11}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{63}{11},y=-\frac{34}{11}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x+7y=7,3x+2y=11$$

Til að gera 5x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$3\times 5x+3\times 7y=3\times 7,5\times 3x+5\times 2y=5\times 11$$

Einfaldaðu.

$$15x+21y=21,15x+10y=55$$

Dragðu 15x+10y=55 frá 15x+21y=21 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$15x-15x+21y-10y=21-55$$

Leggðu 15x saman við -15x. Liðirnir 15x og -15x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$21y-10y=21-55$$

Leggðu 21y saman við -10y.

$$11y=21-55$$

Leggðu 21 saman við -55.

$$11y=-34$$

Deildu báðum hliðum með 11.

$$y=-\frac{34}{11}$$

Skiptu -\frac{34}{11} út fyrir y í 3x+2y=11. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x+2\left(-\frac{34}{11}\right)=11$$

Margfaldaðu 2 sinnum -\frac{34}{11}.

$$3x-\frac{68}{11}=11$$

Leggðu \frac{68}{11} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=\frac{189}{11}$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{63}{11}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{63}{11},y=-\frac{34}{11}$$