Leysa {l}{5x+3y=7}{2x-4y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 7 } \\ { 2 x - 4 y = 5 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{43}{26} = 1\frac{17}{26} \approx 1.653846154$$

$$y=-\frac{11}{26}\approx -0.423076923$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x+3y=7,2x-4y=5$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x+3y=7$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5x=-3y+7$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+7\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum -3y+7.

$$x=-\frac{3}{5}y+\frac{7}{5}$$

Settu \frac{-3y+7}{5} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x-4y=5.

$$2\left(-\frac{3}{5}y+\frac{7}{5}\right)-4y=5$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{-3y+7}{5}.

$$-\frac{6}{5}y+\frac{14}{5}-4y=5$$

Leggðu -\frac{6y}{5} saman við -4y.

$$-\frac{26}{5}y+\frac{14}{5}=5$$

Dragðu \frac{14}{5} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{26}{5}y=\frac{11}{5}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{26}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{11}{26}$$

Skiptu -\frac{11}{26} út fyrir y í x=-\frac{3}{5}y+\frac{7}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{3}{5}\left(-\frac{11}{26}\right)+\frac{7}{5}$$

Margfaldaðu -\frac{3}{5} sinnum -\frac{11}{26} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{33}{130}+\frac{7}{5}$$

Leggðu \frac{7}{5} saman við \frac{33}{130} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{43}{26}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{43}{26},y=-\frac{11}{26}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x+3y=7,2x-4y=5$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&3\\2&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5\left(-4\right)-3\times 2}&-\frac{3}{5\left(-4\right)-3\times 2}\\-\frac{2}{5\left(-4\right)-3\times 2}&\frac{5}{5\left(-4\right)-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{3}{26}\\\frac{1}{13}&-\frac{5}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times 7+\frac{3}{26}\times 5\\\frac{1}{13}\times 7-\frac{5}{26}\times 5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{43}{26}\\-\frac{11}{26}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{43}{26},y=-\frac{11}{26}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x+3y=7,2x-4y=5$$

Til að gera 5x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$2\times 5x+2\times 3y=2\times 7,5\times 2x+5\left(-4\right)y=5\times 5$$

Einfaldaðu.

$$10x+6y=14,10x-20y=25$$

Dragðu 10x-20y=25 frá 10x+6y=14 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$10x-10x+6y+20y=14-25$$

Leggðu 10x saman við -10x. Liðirnir 10x og -10x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$6y+20y=14-25$$

Leggðu 6y saman við 20y.

$$26y=14-25$$

Leggðu 14 saman við -25.

$$26y=-11$$

Deildu báðum hliðum með 26.

$$y=-\frac{11}{26}$$

Skiptu -\frac{11}{26} út fyrir y í 2x-4y=5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x-4\left(-\frac{11}{26}\right)=5$$

Margfaldaðu -4 sinnum -\frac{11}{26}.

$$2x+\frac{22}{13}=5$$

Dragðu \frac{22}{13} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=\frac{43}{13}$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{43}{26}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{43}{26},y=-\frac{11}{26}$$