Leysa {l}{5x+3y=450.000}{3x+4y=913.000}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 450.000 } \\ { 3 x + 4 y = 913.000 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = -\frac{939}{11} = -85\frac{4}{11} \approx -85.363636364$$

$$y = \frac{3215}{11} = 292\frac{3}{11} \approx 292.272727273$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x+3y=450,3x+4y=913$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x+3y=450$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5x=-3y+450$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+450\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum -3y+450.

$$x=-\frac{3}{5}y+90$$

Settu -\frac{3y}{5}+90 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x+4y=913.

$$3\left(-\frac{3}{5}y+90\right)+4y=913$$

Margfaldaðu 3 sinnum -\frac{3y}{5}+90.

$$-\frac{9}{5}y+270+4y=913$$

Leggðu -\frac{9y}{5} saman við 4y.

$$\frac{11}{5}y+270=913$$

Dragðu 270 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{11}{5}y=643$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{11}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{3215}{11}$$

Skiptu \frac{3215}{11} út fyrir y í x=-\frac{3}{5}y+90. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{3}{5}\times \frac{3215}{11}+90$$

Margfaldaðu -\frac{3}{5} sinnum \frac{3215}{11} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{1929}{11}+90$$

Leggðu 90 saman við -\frac{1929}{11}.

$$x=-\frac{939}{11}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{939}{11},y=\frac{3215}{11}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x+3y=450,3x+4y=913$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}450\\913\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}450\\913\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}450\\913\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}450\\913\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-3\times 3}&-\frac{3}{5\times 4-3\times 3}\\-\frac{3}{5\times 4-3\times 3}&\frac{5}{5\times 4-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}450\\913\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&-\frac{3}{11}\\-\frac{3}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}450\\913\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times 450-\frac{3}{11}\times 913\\-\frac{3}{11}\times 450+\frac{5}{11}\times 913\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{939}{11}\\\frac{3215}{11}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{939}{11},y=\frac{3215}{11}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x+3y=450,3x+4y=913$$

Til að gera 5x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$3\times 5x+3\times 3y=3\times 450,5\times 3x+5\times 4y=5\times 913$$

Einfaldaðu.

$$15x+9y=1350,15x+20y=4565$$

Dragðu 15x+20y=4565 frá 15x+9y=1350 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$15x-15x+9y-20y=1350-4565$$

Leggðu 15x saman við -15x. Liðirnir 15x og -15x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$9y-20y=1350-4565$$

Leggðu 9y saman við -20y.

$$-11y=1350-4565$$

Leggðu 1350 saman við -4565.

$$-11y=-3215$$

Deildu báðum hliðum með -11.

$$y=\frac{3215}{11}$$

Skiptu \frac{3215}{11} út fyrir y í 3x+4y=913. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x+4\times \frac{3215}{11}=913$$

Margfaldaðu 4 sinnum \frac{3215}{11}.

$$3x+\frac{12860}{11}=913$$

Dragðu \frac{12860}{11} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-\frac{2817}{11}$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=-\frac{939}{11}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{939}{11},y=\frac{3215}{11}$$