Leysa {l}{5x+2y=3}{7y+12x=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 3 } \\ { 7 y + 12 x = 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{17}{11} = 1\frac{6}{11} \approx 1.545454545$$

$$y = -\frac{26}{11} = -2\frac{4}{11} \approx -2.363636364$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x+2y=3,12x+7y=2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x+2y=3$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5x=-2y+3$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+3\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum -2y+3.

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{3}{5}$$

Settu \frac{-2y+3}{5} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 12x+7y=2.

$$12\left(-\frac{2}{5}y+\frac{3}{5}\right)+7y=2$$

Margfaldaðu 12 sinnum \frac{-2y+3}{5}.

$$-\frac{24}{5}y+\frac{36}{5}+7y=2$$

Leggðu -\frac{24y}{5} saman við 7y.

$$\frac{11}{5}y+\frac{36}{5}=2$$

Dragðu \frac{36}{5} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{11}{5}y=-\frac{26}{5}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{11}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{26}{11}$$

Skiptu -\frac{26}{11} út fyrir y í x=-\frac{2}{5}y+\frac{3}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{2}{5}\left(-\frac{26}{11}\right)+\frac{3}{5}$$

Margfaldaðu -\frac{2}{5} sinnum -\frac{26}{11} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{52}{55}+\frac{3}{5}$$

Leggðu \frac{3}{5} saman við \frac{52}{55} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{17}{11}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{17}{11},y=-\frac{26}{11}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x+2y=3,12x+7y=2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-2\times 12}&-\frac{2}{5\times 7-2\times 12}\\-\frac{12}{5\times 7-2\times 12}&\frac{5}{5\times 7-2\times 12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{11}&-\frac{2}{11}\\-\frac{12}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{11}\times 3-\frac{2}{11}\times 2\\-\frac{12}{11}\times 3+\frac{5}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{11}\\-\frac{26}{11}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{17}{11},y=-\frac{26}{11}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x+2y=3,12x+7y=2$$

Til að gera 5x og 12x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 12 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$12\times 5x+12\times 2y=12\times 3,5\times 12x+5\times 7y=5\times 2$$

Einfaldaðu.

$$60x+24y=36,60x+35y=10$$

Dragðu 60x+35y=10 frá 60x+24y=36 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$60x-60x+24y-35y=36-10$$

Leggðu 60x saman við -60x. Liðirnir 60x og -60x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$24y-35y=36-10$$

Leggðu 24y saman við -35y.

$$-11y=36-10$$

Leggðu 36 saman við -10.

$$-11y=26$$

Deildu báðum hliðum með -11.

$$y=-\frac{26}{11}$$

Skiptu -\frac{26}{11} út fyrir y í 12x+7y=2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$12x+7\left(-\frac{26}{11}\right)=2$$

Margfaldaðu 7 sinnum -\frac{26}{11}.

$$12x-\frac{182}{11}=2$$

Leggðu \frac{182}{11} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$12x=\frac{204}{11}$$

Deildu báðum hliðum með 12.

$$x=\frac{17}{11}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{17}{11},y=-\frac{26}{11}$$