Leysa {l}{40x+30y=500}{60x+15y=600}

$$\left. \begin{array} { l } { 40 x + 30 y = 500 } \\ { 60 x + 15 y = 600 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{35}{4} = 8\frac{3}{4} = 8.75$$

$$y=5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$40x+30y=500,60x+15y=600$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$40x+30y=500$$

Dragðu 30y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$40x=-30y+500$$

Deildu báðum hliðum með 40.

$$x=\frac{1}{40}\left(-30y+500\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{40} sinnum -30y+500.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2}$$

Settu -\frac{3y}{4}+\frac{25}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 60x+15y=600.

$$60\left(-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2}\right)+15y=600$$

Margfaldaðu 60 sinnum -\frac{3y}{4}+\frac{25}{2}.

$$-45y+750+15y=600$$

Leggðu -45y saman við 15y.

$$-30y+750=600$$

Dragðu 750 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-30y=-150$$

Deildu báðum hliðum með -30.

$$y=5$$

Skiptu 5 út fyrir y í x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{3}{4}\times 5+\frac{25}{2}$$

Margfaldaðu -\frac{3}{4} sinnum 5.

$$x=-\frac{15}{4}+\frac{25}{2}$$

Leggðu \frac{25}{2} saman við -\frac{15}{4} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{35}{4}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{35}{4},y=5$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$40x+30y=500,60x+15y=600$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{40\times 15-30\times 60}&-\frac{30}{40\times 15-30\times 60}\\-\frac{60}{40\times 15-30\times 60}&\frac{40}{40\times 15-30\times 60}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}&\frac{1}{40}\\\frac{1}{20}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}\times 500+\frac{1}{40}\times 600\\\frac{1}{20}\times 500-\frac{1}{30}\times 600\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{4}\\5\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{35}{4},y=5$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$40x+30y=500,60x+15y=600$$

Til að gera 40x og 60x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 60 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 40.

$$60\times 40x+60\times 30y=60\times 500,40\times 60x+40\times 15y=40\times 600$$

Einfaldaðu.

$$2400x+1800y=30000,2400x+600y=24000$$

Dragðu 2400x+600y=24000 frá 2400x+1800y=30000 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2400x-2400x+1800y-600y=30000-24000$$

Leggðu 2400x saman við -2400x. Liðirnir 2400x og -2400x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$1800y-600y=30000-24000$$

Leggðu 1800y saman við -600y.

$$1200y=30000-24000$$

Leggðu 30000 saman við -24000.

$$1200y=6000$$

Deildu báðum hliðum með 1200.

$$y=5$$

Skiptu 5 út fyrir y í 60x+15y=600. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$60x+15\times 5=600$$

Margfaldaðu 15 sinnum 5.

$$60x+75=600$$

Dragðu 75 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$60x=525$$

Deildu báðum hliðum með 60.

$$x=\frac{35}{4}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{35}{4},y=5$$