Leysa {l}{4x=9-3y}{5y=12-5x}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x = 9 - 3 y } \\ { 5 y = 12 - 5 x } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5} = 1.8$$

$$y=\frac{3}{5}=0.6$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Bættu 3y við báðar hliðar.

$$4x+3y=9$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu 5x við báðar hliðar.

$$5y+5x=12$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$4x+3y=9,5x+5y=12$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$4x+3y=9$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x=-3y+9$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+9\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum -3y+9.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{9}{4}$$

Settu \frac{-3y+9}{4} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 5x+5y=12.

$$5\left(-\frac{3}{4}y+\frac{9}{4}\right)+5y=12$$

Margfaldaðu 5 sinnum \frac{-3y+9}{4}.

$$-\frac{15}{4}y+\frac{45}{4}+5y=12$$

Leggðu -\frac{15y}{4} saman við 5y.

$$\frac{5}{4}y+\frac{45}{4}=12$$

Dragðu \frac{45}{4} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{5}{4}y=\frac{3}{4}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{5}{4}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{3}{5}$$

Skiptu \frac{3}{5} út fyrir y í x=-\frac{3}{4}y+\frac{9}{4}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{3}{4}\times \frac{3}{5}+\frac{9}{4}$$

Margfaldaðu -\frac{3}{4} sinnum \frac{3}{5} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{9}{20}+\frac{9}{4}$$

Leggðu \frac{9}{4} saman við -\frac{9}{20} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{9}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{9}{5},y=\frac{3}{5}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Bættu 3y við báðar hliðar.

$$4x+3y=9$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu 5x við báðar hliðar.

$$5y+5x=12$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$4x+3y=9,5x+5y=12$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-3\times 5}&-\frac{3}{4\times 5-3\times 5}\\-\frac{5}{4\times 5-3\times 5}&\frac{4}{4\times 5-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{5}\\-1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9-\frac{3}{5}\times 12\\-9+\frac{4}{5}\times 12\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{5}\\\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{9}{5},y=\frac{3}{5}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Bættu 3y við báðar hliðar.

$$4x+3y=9$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu 5x við báðar hliðar.

$$5y+5x=12$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$4x+3y=9,5x+5y=12$$

Til að gera 4x og 5x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 4.

$$5\times 4x+5\times 3y=5\times 9,4\times 5x+4\times 5y=4\times 12$$

Einfaldaðu.

$$20x+15y=45,20x+20y=48$$

Dragðu 20x+20y=48 frá 20x+15y=45 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$20x-20x+15y-20y=45-48$$

Leggðu 20x saman við -20x. Liðirnir 20x og -20x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$15y-20y=45-48$$

Leggðu 15y saman við -20y.

$$-5y=45-48$$

Leggðu 45 saman við -48.

$$-5y=-3$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$y=\frac{3}{5}$$

Skiptu \frac{3}{5} út fyrir y í 5x+5y=12. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$5x+5\times \frac{3}{5}=12$$

Margfaldaðu 5 sinnum \frac{3}{5}.

$$5x+3=12$$

Dragðu 3 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5x=9$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{9}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{9}{5},y=\frac{3}{5}$$