Leysa {l}{4x=3y+3}{x=y-1}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x = 3 y + 3 } \\ { x = y - 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=6$$

$$y=7$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 3y frá báðum hliðum.

$$4x-3y=3$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu y frá báðum hliðum.

$$x-y=-1$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$4x-3y=3,x-y=-1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$4x-3y=3$$

Leggðu 3y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4x=3y+3$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+3\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum 3+3y.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{3}{4}$$

Settu \frac{3+3y}{4} inn fyrir x í hinni jöfnunni, x-y=-1.

$$\frac{3}{4}y+\frac{3}{4}-y=-1$$

Leggðu \frac{3y}{4} saman við -y.

$$-\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}=-1$$

Dragðu \frac{3}{4} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{1}{4}y=-\frac{7}{4}$$

Margfaldaðu báðar hliðar með -4.

$$y=7$$

Skiptu 7 út fyrir y í x=\frac{3}{4}y+\frac{3}{4}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{3}{4}\times 7+\frac{3}{4}$$

Margfaldaðu \frac{3}{4} sinnum 7.

$$x=\frac{21+3}{4}$$

Leggðu \frac{3}{4} saman við \frac{21}{4} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=6$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=6,y=7$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 3y frá báðum hliðum.

$$4x-3y=3$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu y frá báðum hliðum.

$$x-y=-1$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$4x-3y=3,x-y=-1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}4&-3\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{4\left(-1\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{4\left(-1\right)-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\left(-1\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3-3\left(-1\right)\\3-4\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=6,y=7$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 3y frá báðum hliðum.

$$4x-3y=3$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu y frá báðum hliðum.

$$x-y=-1$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$4x-3y=3,x-y=-1$$

Til að gera 4x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 4.

$$4x-3y=3,4x+4\left(-1\right)y=4\left(-1\right)$$

Einfaldaðu.

$$4x-3y=3,4x-4y=-4$$

Dragðu 4x-4y=-4 frá 4x-3y=3 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$4x-4x-3y+4y=3+4$$

Leggðu 4x saman við -4x. Liðirnir 4x og -4x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-3y+4y=3+4$$

Leggðu -3y saman við 4y.

$$y=3+4$$

Leggðu 3 saman við 4.

$$y=7$$

Skiptu 7 út fyrir y í x-y=-1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x-7=-1$$

Leggðu 7 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=6$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=6,y=7$$