Leysa {l}{4x+5y=-14}{-9x-9y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = - 14 } \\ { - 9 x - 9 y = 9 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=9$$

$$y=-10$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$4x+5y=-14,-9x-9y=9$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$4x+5y=-14$$

Dragðu 5y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x=-5y-14$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y-14\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum -5y-14.

$$x=-\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}$$

Settu -\frac{5y}{4}-\frac{7}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -9x-9y=9.

$$-9\left(-\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}\right)-9y=9$$

Margfaldaðu -9 sinnum -\frac{5y}{4}-\frac{7}{2}.

$$\frac{45}{4}y+\frac{63}{2}-9y=9$$

Leggðu \frac{45y}{4} saman við -9y.

$$\frac{9}{4}y+\frac{63}{2}=9$$

Dragðu \frac{63}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{9}{4}y=-\frac{45}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{9}{4}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-10$$

Skiptu -10 út fyrir y í x=-\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{5}{4}\left(-10\right)-\frac{7}{2}$$

Margfaldaðu -\frac{5}{4} sinnum -10.

$$x=\frac{25-7}{2}$$

Leggðu -\frac{7}{2} saman við \frac{25}{2} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=9$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=9,y=-10$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$4x+5y=-14,-9x-9y=9$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\-9&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}4&5\\-9&-9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-9&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\-9&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-9&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\9\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-9&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-9&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\9\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{4\left(-9\right)-5\left(-9\right)}&-\frac{5}{4\left(-9\right)-5\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{4\left(-9\right)-5\left(-9\right)}&\frac{4}{4\left(-9\right)-5\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-\frac{5}{9}\\1&\frac{4}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-14\right)-\frac{5}{9}\times 9\\-14+\frac{4}{9}\times 9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=9,y=-10$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$4x+5y=-14,-9x-9y=9$$

Til að gera 4x og -9x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -9 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 4.

$$-9\times 4x-9\times 5y=-9\left(-14\right),4\left(-9\right)x+4\left(-9\right)y=4\times 9$$

Einfaldaðu.

$$-36x-45y=126,-36x-36y=36$$

Dragðu -36x-36y=36 frá -36x-45y=126 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-36x+36x-45y+36y=126-36$$

Leggðu -36x saman við 36x. Liðirnir -36x og 36x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-45y+36y=126-36$$

Leggðu -45y saman við 36y.

$$-9y=126-36$$

Leggðu 126 saman við -36.

$$-9y=90$$

Deildu báðum hliðum með -9.

$$y=-10$$

Skiptu -10 út fyrir y í -9x-9y=9. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-9x-9\left(-10\right)=9$$

Margfaldaðu -9 sinnum -10.

$$-9x+90=9$$

Dragðu 90 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-9x=-81$$

Deildu báðum hliðum með -9.

$$x=9$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=9,y=-10$$