Leysa {l}{4x+5y=-12}{5x-17=-7y}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = - 12 } \\ { 5 x - 17 = - 7 y } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = -\frac{169}{3} = -56\frac{1}{3} \approx -56.333333333$$

$$y = \frac{128}{3} = 42\frac{2}{3} \approx 42.666666667$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu 7y við báðar hliðar.

$$5x-17+7y=0$$

Bættu 17 við báðar hliðar. Allt sem er lagt saman við núll skilar sjálfu sér.

$$5x+7y=17$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$4x+5y=-12,5x+7y=17$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$4x+5y=-12$$

Dragðu 5y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x=-5y-12$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y-12\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum -5y-12.

$$x=-\frac{5}{4}y-3$$

Settu -\frac{5y}{4}-3 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 5x+7y=17.

$$5\left(-\frac{5}{4}y-3\right)+7y=17$$

Margfaldaðu 5 sinnum -\frac{5y}{4}-3.

$$-\frac{25}{4}y-15+7y=17$$

Leggðu -\frac{25y}{4} saman við 7y.

$$\frac{3}{4}y-15=17$$

Leggðu 15 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{3}{4}y=32$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{3}{4}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{128}{3}$$

Skiptu \frac{128}{3} út fyrir y í x=-\frac{5}{4}y-3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{5}{4}\times \frac{128}{3}-3$$

Margfaldaðu -\frac{5}{4} sinnum \frac{128}{3} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{160}{3}-3$$

Leggðu -3 saman við -\frac{160}{3}.

$$x=-\frac{169}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{169}{3},y=\frac{128}{3}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu 7y við báðar hliðar.

$$5x-17+7y=0$$

Bættu 17 við báðar hliðar. Allt sem er lagt saman við núll skilar sjálfu sér.

$$5x+7y=17$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$4x+5y=-12,5x+7y=17$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{4\times 7-5\times 5}&-\frac{5}{4\times 7-5\times 5}\\-\frac{5}{4\times 7-5\times 5}&\frac{4}{4\times 7-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3}&-\frac{5}{3}\\-\frac{5}{3}&\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3}\left(-12\right)-\frac{5}{3}\times 17\\-\frac{5}{3}\left(-12\right)+\frac{4}{3}\times 17\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{169}{3}\\\frac{128}{3}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{169}{3},y=\frac{128}{3}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu 7y við báðar hliðar.

$$5x-17+7y=0$$

Bættu 17 við báðar hliðar. Allt sem er lagt saman við núll skilar sjálfu sér.

$$5x+7y=17$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$4x+5y=-12,5x+7y=17$$

Til að gera 4x og 5x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 4.

$$5\times 4x+5\times 5y=5\left(-12\right),4\times 5x+4\times 7y=4\times 17$$

Einfaldaðu.

$$20x+25y=-60,20x+28y=68$$

Dragðu 20x+28y=68 frá 20x+25y=-60 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$20x-20x+25y-28y=-60-68$$

Leggðu 20x saman við -20x. Liðirnir 20x og -20x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$25y-28y=-60-68$$

Leggðu 25y saman við -28y.

$$-3y=-60-68$$

Leggðu -60 saman við -68.

$$-3y=-128$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$y=\frac{128}{3}$$

Skiptu \frac{128}{3} út fyrir y í 5x+7y=17. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$5x+7\times \frac{128}{3}=17$$

Margfaldaðu 7 sinnum \frac{128}{3}.

$$5x+\frac{896}{3}=17$$

Dragðu \frac{896}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5x=-\frac{845}{3}$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=-\frac{169}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{169}{3},y=\frac{128}{3}$$