Leysa {l}{4x+3y=25}{x-3y/2=-14}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 25 } \\ { x - \frac { 3 y } { 2 } = - 14 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$y=9$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 2.

$$2x-3y=-28$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$4x+3y=25,2x-3y=-28$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$4x+3y=25$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x=-3y+25$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+25\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum -3y+25.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{4}$$

Settu \frac{-3y+25}{4} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x-3y=-28.

$$2\left(-\frac{3}{4}y+\frac{25}{4}\right)-3y=-28$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{-3y+25}{4}.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{25}{2}-3y=-28$$

Leggðu -\frac{3y}{2} saman við -3y.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{25}{2}=-28$$

Dragðu \frac{25}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{9}{2}y=-\frac{81}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{9}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=9$$

Skiptu 9 út fyrir y í x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{4}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{3}{4}\times 9+\frac{25}{4}$$

Margfaldaðu -\frac{3}{4} sinnum 9.

$$x=\frac{-27+25}{4}$$

Leggðu \frac{25}{4} saman við -\frac{27}{4} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{1}{2},y=9$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 2.

$$2x-3y=-28$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$4x+3y=25,2x-3y=-28$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\-28\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\-28\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\-28\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\-28\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4\left(-3\right)-3\times 2}&-\frac{3}{4\left(-3\right)-3\times 2}\\-\frac{2}{4\left(-3\right)-3\times 2}&\frac{4}{4\left(-3\right)-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\-28\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{1}{9}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\-28\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 25+\frac{1}{6}\left(-28\right)\\\frac{1}{9}\times 25-\frac{2}{9}\left(-28\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{1}{2},y=9$$

Skref með útilokun

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 2.

$$2x-3y=-28$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$4x+3y=25,2x-3y=-28$$

Til að gera 4x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 4.

$$2\times 4x+2\times 3y=2\times 25,4\times 2x+4\left(-3\right)y=4\left(-28\right)$$

Einfaldaðu.

$$8x+6y=50,8x-12y=-112$$

Dragðu 8x-12y=-112 frá 8x+6y=50 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$8x-8x+6y+12y=50+112$$

Leggðu 8x saman við -8x. Liðirnir 8x og -8x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$6y+12y=50+112$$

Leggðu 6y saman við 12y.

$$18y=50+112$$

Leggðu 50 saman við 112.

$$18y=162$$

Deildu báðum hliðum með 18.

$$y=9$$

Skiptu 9 út fyrir y í 2x-3y=-28. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x-3\times 9=-28$$

Margfaldaðu -3 sinnum 9.

$$2x-27=-28$$

Leggðu 27 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=-1$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{1}{2},y=9$$