Leysa {l}{4x+2y=-18}{-2x-5y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = - 18 } \\ { - 2 x - 5 y = 10 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = -\frac{35}{8} = -4\frac{3}{8} = -4.375$$

$$y=-\frac{1}{4}=-0.25$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$4x+2y=-18,-2x-5y=10$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$4x+2y=-18$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x=-2y-18$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y-18\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum -2y-18.

$$x=-\frac{1}{2}y-\frac{9}{2}$$

Settu \frac{-y-9}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -2x-5y=10.

$$-2\left(-\frac{1}{2}y-\frac{9}{2}\right)-5y=10$$

Margfaldaðu -2 sinnum \frac{-y-9}{2}.

$$y+9-5y=10$$

Leggðu y saman við -5y.

$$-4y+9=10$$

Dragðu 9 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-4y=1$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$y=-\frac{1}{4}$$

Skiptu -\frac{1}{4} út fyrir y í x=-\frac{1}{2}y-\frac{9}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{4}\right)-\frac{9}{2}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{2} sinnum -\frac{1}{4} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{1}{8}-\frac{9}{2}$$

Leggðu -\frac{9}{2} saman við \frac{1}{8} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-\frac{35}{8}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{35}{8},y=-\frac{1}{4}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$4x+2y=-18,-2x-5y=10$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\-2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}4&2\\-2&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\-2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\10\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\10\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{4\left(-5\right)-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{4\left(-5\right)-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{4\left(-5\right)-2\left(-2\right)}&\frac{4}{4\left(-5\right)-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\10\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}&\frac{1}{8}\\-\frac{1}{8}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}\left(-18\right)+\frac{1}{8}\times 10\\-\frac{1}{8}\left(-18\right)-\frac{1}{4}\times 10\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{35}{8}\\-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{35}{8},y=-\frac{1}{4}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$4x+2y=-18,-2x-5y=10$$

Til að gera 4x og -2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 4.

$$-2\times 4x-2\times 2y=-2\left(-18\right),4\left(-2\right)x+4\left(-5\right)y=4\times 10$$

Einfaldaðu.

$$-8x-4y=36,-8x-20y=40$$

Dragðu -8x-20y=40 frá -8x-4y=36 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-8x+8x-4y+20y=36-40$$

Leggðu -8x saman við 8x. Liðirnir -8x og 8x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-4y+20y=36-40$$

Leggðu -4y saman við 20y.

$$16y=36-40$$

Leggðu 36 saman við -40.

$$16y=-4$$

Deildu báðum hliðum með 16.

$$y=-\frac{1}{4}$$

Skiptu -\frac{1}{4} út fyrir y í -2x-5y=10. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-2x-5\left(-\frac{1}{4}\right)=10$$

Margfaldaðu -5 sinnum -\frac{1}{4}.

$$-2x+\frac{5}{4}=10$$

Dragðu \frac{5}{4} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-2x=\frac{35}{4}$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$x=-\frac{35}{8}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{35}{8},y=-\frac{1}{4}$$