Leysa {l}{3x-4y=12}{y=-3x-3}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 4 y = 12 } \\ { y = - 3 x - 3 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=0$$

$$y=-3$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu 3x við báðar hliðar.

$$y+3x=-3$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x-4y=12,3x+y=-3$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x-4y=12$$

Leggðu 4y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=4y+12$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(4y+12\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum 12+4y.

$$x=\frac{4}{3}y+4$$

Settu 4+\frac{4y}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x+y=-3.

$$3\left(\frac{4}{3}y+4\right)+y=-3$$

Margfaldaðu 3 sinnum 4+\frac{4y}{3}.

$$4y+12+y=-3$$

Leggðu 4y saman við y.

$$5y+12=-3$$

Dragðu 12 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5y=-15$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$y=-3$$

Skiptu -3 út fyrir y í x=\frac{4}{3}y+4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{4}{3}\left(-3\right)+4$$

Margfaldaðu \frac{4}{3} sinnum -3.

$$x=-4+4$$

Leggðu 4 saman við -4.

$$x=0$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=0,y=-3$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu 3x við báðar hliðar.

$$y+3x=-3$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x-4y=12,3x+y=-3$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&-4\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{3-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{3-\left(-4\times 3\right)}&\frac{3}{3-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&\frac{4}{15}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 12+\frac{4}{15}\left(-3\right)\\-\frac{1}{5}\times 12+\frac{1}{5}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=0,y=-3$$

Skref með útilokun

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu 3x við báðar hliðar.

$$y+3x=-3$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x-4y=12,3x+y=-3$$

Dragðu 3x+y=-3 frá 3x-4y=12 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$3x-3x-4y-y=12+3$$

Leggðu 3x saman við -3x. Liðirnir 3x og -3x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-4y-y=12+3$$

Leggðu -4y saman við -y.

$$-5y=12+3$$

Leggðu 12 saman við 3.

$$-5y=15$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$y=-3$$

Skiptu -3 út fyrir y í 3x+y=-3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x-3=-3$$

Leggðu 3 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=0$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=0$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=0,y=-3$$