Leysa {l}{3x-2y=4}{x=y-2}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 4 } \\ { x = y - 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=8$$

$$y=10$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu y frá báðum hliðum.

$$x-y=-2$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x-2y=4,x-y=-2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x-2y=4$$

Leggðu 2y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=2y+4$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+4\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum 4+2y.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}$$

Settu \frac{4+2y}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, x-y=-2.

$$\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}-y=-2$$

Leggðu \frac{2y}{3} saman við -y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}=-2$$

Dragðu \frac{4}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{10}{3}$$

Margfaldaðu báðar hliðar með -3.

$$y=10$$

Skiptu 10 út fyrir y í x=\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{2}{3}\times 10+\frac{4}{3}$$

Margfaldaðu \frac{2}{3} sinnum 10.

$$x=\frac{20+4}{3}$$

Leggðu \frac{4}{3} saman við \frac{20}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=8$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=8,y=10$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu y frá báðum hliðum.

$$x-y=-2$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x-2y=4,x-y=-2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&-2\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4-2\left(-2\right)\\4-3\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=8,y=10$$

Skref með útilokun

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu y frá báðum hliðum.

$$x-y=-2$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x-2y=4,x-y=-2$$

Til að gera 3x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$3x-2y=4,3x+3\left(-1\right)y=3\left(-2\right)$$

Einfaldaðu.

$$3x-2y=4,3x-3y=-6$$

Dragðu 3x-3y=-6 frá 3x-2y=4 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$3x-3x-2y+3y=4+6$$

Leggðu 3x saman við -3x. Liðirnir 3x og -3x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-2y+3y=4+6$$

Leggðu -2y saman við 3y.

$$y=4+6$$

Leggðu 4 saman við 6.

$$y=10$$

Skiptu 10 út fyrir y í x-y=-2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x-10=-2$$

Leggðu 10 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=8$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=8,y=10$$