Leysa {l}{3x-2y=2}{5x-5y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 2 } \\ { 5 x - 5 y = 10 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-2$$

$$y=-4$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x-2y=2,5x-5y=10$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x-2y=2$$

Leggðu 2y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=2y+2$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+2\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum 2+2y.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{2}{3}$$

Settu \frac{2+2y}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 5x-5y=10.

$$5\left(\frac{2}{3}y+\frac{2}{3}\right)-5y=10$$

Margfaldaðu 5 sinnum \frac{2+2y}{3}.

$$\frac{10}{3}y+\frac{10}{3}-5y=10$$

Leggðu \frac{10y}{3} saman við -5y.

$$-\frac{5}{3}y+\frac{10}{3}=10$$

Dragðu \frac{10}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{5}{3}y=\frac{20}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{5}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-4$$

Skiptu -4 út fyrir y í x=\frac{2}{3}y+\frac{2}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{2}{3}\left(-4\right)+\frac{2}{3}$$

Margfaldaðu \frac{2}{3} sinnum -4.

$$x=\frac{-8+2}{3}$$

Leggðu \frac{2}{3} saman við -\frac{8}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-2,y=-4$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x-2y=2,5x-5y=10$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&-2\\5&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 5\right)}&-\frac{-2}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 5\right)}\\-\frac{5}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 5\right)}&\frac{3}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-\frac{2}{5}\\1&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2-\frac{2}{5}\times 10\\2-\frac{3}{5}\times 10\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-2,y=-4$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x-2y=2,5x-5y=10$$

Til að gera 3x og 5x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$5\times 3x+5\left(-2\right)y=5\times 2,3\times 5x+3\left(-5\right)y=3\times 10$$

Einfaldaðu.

$$15x-10y=10,15x-15y=30$$

Dragðu 15x-15y=30 frá 15x-10y=10 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$15x-15x-10y+15y=10-30$$

Leggðu 15x saman við -15x. Liðirnir 15x og -15x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-10y+15y=10-30$$

Leggðu -10y saman við 15y.

$$5y=10-30$$

Leggðu 10 saman við -30.

$$5y=-20$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$y=-4$$

Skiptu -4 út fyrir y í 5x-5y=10. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$5x-5\left(-4\right)=10$$

Margfaldaðu -5 sinnum -4.

$$5x+20=10$$

Dragðu 20 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5x=-10$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=-2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-2,y=-4$$