Leysa {l}{3x-13=-y}{2x+9y=-8}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 13 = - y } \\ { 2 x + 9 y = - 8 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=5$$

$$y=-2$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Bættu y við báðar hliðar.

$$3x-13+y=0$$

Bættu 13 við báðar hliðar. Allt sem er lagt saman við núll skilar sjálfu sér.

$$3x+y=13$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x+y=13,2x+9y=-8$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x+y=13$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-y+13$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+13\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -y+13.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{13}{3}$$

Settu \frac{-y+13}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+9y=-8.

$$2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{13}{3}\right)+9y=-8$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{-y+13}{3}.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{26}{3}+9y=-8$$

Leggðu -\frac{2y}{3} saman við 9y.

$$\frac{25}{3}y+\frac{26}{3}=-8$$

Dragðu \frac{26}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{25}{3}y=-\frac{50}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{25}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í x=-\frac{1}{3}y+\frac{13}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-2\right)+\frac{13}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{3} sinnum -2.

$$x=\frac{2+13}{3}$$

Leggðu \frac{13}{3} saman við \frac{2}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=5,y=-2$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Bættu y við báðar hliðar.

$$3x-13+y=0$$

Bættu 13 við báðar hliðar. Allt sem er lagt saman við núll skilar sjálfu sér.

$$3x+y=13$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x+y=13,2x+9y=-8$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-8\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-8\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{3\times 9-2}&-\frac{1}{3\times 9-2}\\-\frac{2}{3\times 9-2}&\frac{3}{3\times 9-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{25}&-\frac{1}{25}\\-\frac{2}{25}&\frac{3}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{25}\times 13-\frac{1}{25}\left(-8\right)\\-\frac{2}{25}\times 13+\frac{3}{25}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=5,y=-2$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Bættu y við báðar hliðar.

$$3x-13+y=0$$

Bættu 13 við báðar hliðar. Allt sem er lagt saman við núll skilar sjálfu sér.

$$3x+y=13$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x+y=13,2x+9y=-8$$

Til að gera 3x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$2\times 3x+2y=2\times 13,3\times 2x+3\times 9y=3\left(-8\right)$$

Einfaldaðu.

$$6x+2y=26,6x+27y=-24$$

Dragðu 6x+27y=-24 frá 6x+2y=26 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6x-6x+2y-27y=26+24$$

Leggðu 6x saman við -6x. Liðirnir 6x og -6x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$2y-27y=26+24$$

Leggðu 2y saman við -27y.

$$-25y=26+24$$

Leggðu 26 saman við 24.

$$-25y=50$$

Deildu báðum hliðum með -25.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í 2x+9y=-8. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x+9\left(-2\right)=-8$$

Margfaldaðu 9 sinnum -2.

$$2x-18=-8$$

Leggðu 18 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=10$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=5,y=-2$$