Leysa {l}{3x+5y=6.5}{2x-2y=-9}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 6.5 } \\ { 2 x - 2 y = - 9 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-2$$

$$y=2.5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x+5y=6.5,2x-2y=-9$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x+5y=6.5$$

Dragðu 5y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-5y+6.5$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+6.5\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -5y+6.5.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{13}{6}$$

Settu -\frac{5y}{3}+\frac{13}{6} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x-2y=-9.

$$2\left(-\frac{5}{3}y+\frac{13}{6}\right)-2y=-9$$

Margfaldaðu 2 sinnum -\frac{5y}{3}+\frac{13}{6}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{13}{3}-2y=-9$$

Leggðu -\frac{10y}{3} saman við -2y.

$$-\frac{16}{3}y+\frac{13}{3}=-9$$

Dragðu \frac{13}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{16}{3}y=-\frac{40}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{16}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{5}{2}$$

Skiptu \frac{5}{2} út fyrir y í x=-\frac{5}{3}y+\frac{13}{6}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{5}{2}+\frac{13}{6}$$

Margfaldaðu -\frac{5}{3} sinnum \frac{5}{2} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{-25+13}{6}$$

Leggðu \frac{13}{6} saman við -\frac{25}{6} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-2,y=\frac{5}{2}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x+5y=6.5,2x-2y=-9$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6.5\\-9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&5\\2&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6.5\\-9\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6.5\\-9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6.5\\-9\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-5\times 2}&-\frac{5}{3\left(-2\right)-5\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-2\right)-5\times 2}&\frac{3}{3\left(-2\right)-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6.5\\-9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{5}{16}\\\frac{1}{8}&-\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6.5\\-9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 6.5+\frac{5}{16}\left(-9\right)\\\frac{1}{8}\times 6.5-\frac{3}{16}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-2,y=\frac{5}{2}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x+5y=6.5,2x-2y=-9$$

Til að gera 3x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$2\times 3x+2\times 5y=2\times 6.5,3\times 2x+3\left(-2\right)y=3\left(-9\right)$$

Einfaldaðu.

$$6x+10y=13,6x-6y=-27$$

Dragðu 6x-6y=-27 frá 6x+10y=13 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6x-6x+10y+6y=13+27$$

Leggðu 6x saman við -6x. Liðirnir 6x og -6x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$10y+6y=13+27$$

Leggðu 10y saman við 6y.

$$16y=13+27$$

Leggðu 13 saman við 27.

$$16y=40$$

Deildu báðum hliðum með 16.

$$y=\frac{5}{2}$$

Skiptu \frac{5}{2} út fyrir y í 2x-2y=-9. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x-2\times \frac{5}{2}=-9$$

Margfaldaðu -2 sinnum \frac{5}{2}.

$$2x-5=-9$$

Leggðu 5 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=-4$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=-2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-2,y=\frac{5}{2}$$