Leysa {l}{3x+2y=7}{6x-4y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 7 } \\ { 6 x - 4 y = 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x+2y=7,6x-4y=2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x+2y=7$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-2y+7$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+7\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -2y+7.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}$$

Settu \frac{-2y+7}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 6x-4y=2.

$$6\left(-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}\right)-4y=2$$

Margfaldaðu 6 sinnum \frac{-2y+7}{3}.

$$-4y+14-4y=2$$

Leggðu -4y saman við -4y.

$$-8y+14=2$$

Dragðu 14 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-8y=-12$$

Deildu báðum hliðum með -8.

$$y=\frac{3}{2}$$

Skiptu \frac{3}{2} út fyrir y í x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{3}{2}+\frac{7}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{2}{3} sinnum \frac{3}{2} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-1+\frac{7}{3}$$

Leggðu \frac{7}{3} saman við -1.

$$x=\frac{4}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{3}{2}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x+2y=7,6x-4y=2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&2\\6&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(-4\right)-2\times 6}&-\frac{2}{3\left(-4\right)-2\times 6}\\-\frac{6}{3\left(-4\right)-2\times 6}&\frac{3}{3\left(-4\right)-2\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{12}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 7+\frac{1}{12}\times 2\\\frac{1}{4}\times 7-\frac{1}{8}\times 2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{3}{2}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x+2y=7,6x-4y=2$$

Til að gera 3x og 6x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 6 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$6\times 3x+6\times 2y=6\times 7,3\times 6x+3\left(-4\right)y=3\times 2$$

Einfaldaðu.

$$18x+12y=42,18x-12y=6$$

Dragðu 18x-12y=6 frá 18x+12y=42 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$18x-18x+12y+12y=42-6$$

Leggðu 18x saman við -18x. Liðirnir 18x og -18x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$12y+12y=42-6$$

Leggðu 12y saman við 12y.

$$24y=42-6$$

Leggðu 42 saman við -6.

$$24y=36$$

Deildu báðum hliðum með 24.

$$y=\frac{3}{2}$$

Skiptu \frac{3}{2} út fyrir y í 6x-4y=2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$6x-4\times \frac{3}{2}=2$$

Margfaldaðu -4 sinnum \frac{3}{2}.

$$6x-6=2$$

Leggðu 6 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$6x=8$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$x=\frac{4}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{3}{2}$$