Leysa {l}{3x+2y=7}{5x-2y=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 7 } \\ { 5 x - 2 y = - 5 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

$$y = \frac{25}{8} = 3\frac{1}{8} = 3.125$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x+2y=7,5x-2y=-5$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x+2y=7$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-2y+7$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+7\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -2y+7.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}$$

Settu \frac{-2y+7}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 5x-2y=-5.

$$5\left(-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}\right)-2y=-5$$

Margfaldaðu 5 sinnum \frac{-2y+7}{3}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{35}{3}-2y=-5$$

Leggðu -\frac{10y}{3} saman við -2y.

$$-\frac{16}{3}y+\frac{35}{3}=-5$$

Dragðu \frac{35}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{16}{3}y=-\frac{50}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{16}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{25}{8}$$

Skiptu \frac{25}{8} út fyrir y í x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{25}{8}+\frac{7}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{2}{3} sinnum \frac{25}{8} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{25}{12}+\frac{7}{3}$$

Leggðu \frac{7}{3} saman við -\frac{25}{12} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{1}{4}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{1}{4},y=\frac{25}{8}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x+2y=7,5x-2y=-5$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&2\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-2\times 5}&-\frac{2}{3\left(-2\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{3\left(-2\right)-2\times 5}&\frac{3}{3\left(-2\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\\frac{5}{16}&-\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 7+\frac{1}{8}\left(-5\right)\\\frac{5}{16}\times 7-\frac{3}{16}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\\frac{25}{8}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{1}{4},y=\frac{25}{8}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x+2y=7,5x-2y=-5$$

Til að gera 3x og 5x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$5\times 3x+5\times 2y=5\times 7,3\times 5x+3\left(-2\right)y=3\left(-5\right)$$

Einfaldaðu.

$$15x+10y=35,15x-6y=-15$$

Dragðu 15x-6y=-15 frá 15x+10y=35 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$15x-15x+10y+6y=35+15$$

Leggðu 15x saman við -15x. Liðirnir 15x og -15x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$10y+6y=35+15$$

Leggðu 10y saman við 6y.

$$16y=35+15$$

Leggðu 35 saman við 15.

$$16y=50$$

Deildu báðum hliðum með 16.

$$y=\frac{25}{8}$$

Skiptu \frac{25}{8} út fyrir y í 5x-2y=-5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$5x-2\times \frac{25}{8}=-5$$

Margfaldaðu -2 sinnum \frac{25}{8}.

$$5x-\frac{25}{4}=-5$$

Leggðu \frac{25}{4} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5x=\frac{5}{4}$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{4}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{1}{4},y=\frac{25}{8}$$