Leysa {l}{3c+5z=-15}{5c+3z=-9}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 c + 5 z = - 15 } \\ { 5 c + 3 z = - 9 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir c, z

$$z=-3$$

$$c=0$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3c+5z=-15,5c+3z=-9$$

Veldu eina jöfnuna og leystu c með því að einangra c vinstra megin við samasemmerkið.

$$3c+5z=-15$$

Dragðu 5z frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3c=-5z-15$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$c=\frac{1}{3}\left(-5z-15\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -5z-15.

$$c=-\frac{5}{3}z-5$$

Settu -\frac{5z}{3}-5 inn fyrir c í hinni jöfnunni, 5c+3z=-9.

$$5\left(-\frac{5}{3}z-5\right)+3z=-9$$

Margfaldaðu 5 sinnum -\frac{5z}{3}-5.

$$-\frac{25}{3}z-25+3z=-9$$

Leggðu -\frac{25z}{3} saman við 3z.

$$-\frac{16}{3}z-25=-9$$

Leggðu 25 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-\frac{16}{3}z=16$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{16}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$z=-3$$

Skiptu -3 út fyrir z í c=-\frac{5}{3}z-5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst c strax.

$$c=-\frac{5}{3}\left(-3\right)-5$$

Margfaldaðu -\frac{5}{3} sinnum -3.

$$c=5-5$$

Leggðu -5 saman við 5.

$$c=0$$

Leyst var úr kerfinu.

$$c=0,z=-3$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3c+5z=-15,5c+3z=-9$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-5\times 5}&-\frac{5}{3\times 3-5\times 5}\\-\frac{5}{3\times 3-5\times 5}&\frac{3}{3\times 3-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}&\frac{5}{16}\\\frac{5}{16}&-\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}\left(-15\right)+\frac{5}{16}\left(-9\right)\\\frac{5}{16}\left(-15\right)-\frac{3}{16}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna c og z.

$$c=0,z=-3$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3c+5z=-15,5c+3z=-9$$

Til að gera 3c og 5c jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$5\times 3c+5\times 5z=5\left(-15\right),3\times 5c+3\times 3z=3\left(-9\right)$$

Einfaldaðu.

$$15c+25z=-75,15c+9z=-27$$

Dragðu 15c+9z=-27 frá 15c+25z=-75 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$15c-15c+25z-9z=-75+27$$

Leggðu 15c saman við -15c. Liðirnir 15c og -15c núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$25z-9z=-75+27$$

Leggðu 25z saman við -9z.

$$16z=-75+27$$

Leggðu -75 saman við 27.

$$16z=-48$$

Deildu báðum hliðum með 16.

$$z=-3$$

Skiptu -3 út fyrir z í 5c+3z=-9. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst c strax.

$$5c+3\left(-3\right)=-9$$

Margfaldaðu 3 sinnum -3.

$$5c-9=-9$$

Leggðu 9 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5c=0$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$c=0$$

Leyst var úr kerfinu.

$$c=0,z=-3$$