Leysa {l}{3*a+c=5}{a-c=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 \cdot a + c = 5 } \\ { a - c = 7 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir a, c

$$a=3$$

$$c=-4$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3a+c=5,a-c=7$$

Veldu eina jöfnuna og leystu a með því að einangra a vinstra megin við samasemmerkið.

$$3a+c=5$$

Dragðu c frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3a=-c+5$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$a=\frac{1}{3}\left(-c+5\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -c+5.

$$a=-\frac{1}{3}c+\frac{5}{3}$$

Settu \frac{-c+5}{3} inn fyrir a í hinni jöfnunni, a-c=7.

$$-\frac{1}{3}c+\frac{5}{3}-c=7$$

Leggðu -\frac{c}{3} saman við -c.

$$-\frac{4}{3}c+\frac{5}{3}=7$$

Dragðu \frac{5}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{4}{3}c=\frac{16}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{4}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$c=-4$$

Skiptu -4 út fyrir c í a=-\frac{1}{3}c+\frac{5}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a strax.

$$a=-\frac{1}{3}\left(-4\right)+\frac{5}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{3} sinnum -4.

$$a=\frac{4+5}{3}$$

Leggðu \frac{5}{3} saman við \frac{4}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$a=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=3,c=-4$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3a+c=5,a-c=7$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{3\left(-1\right)-1}&\frac{3}{3\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 7\\\frac{1}{4}\times 5-\frac{3}{4}\times 7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna a og c.

$$a=3,c=-4$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3a+c=5,a-c=7$$

Til að gera 3a og a jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$3a+c=5,3a+3\left(-1\right)c=3\times 7$$

Einfaldaðu.

$$3a+c=5,3a-3c=21$$

Dragðu 3a-3c=21 frá 3a+c=5 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$3a-3a+c+3c=5-21$$

Leggðu 3a saman við -3a. Liðirnir 3a og -3a núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$c+3c=5-21$$

Leggðu c saman við 3c.

$$4c=5-21$$

Leggðu 5 saman við -21.

$$4c=-16$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$c=-4$$

Skiptu -4 út fyrir c í a-c=7. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a strax.

$$a-\left(-4\right)=7$$

Dragðu 4 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$a=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=3,c=-4$$