Leysa {l}{25x+16y=72}{-5x+4y=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 25 x + 16 y = 72 } \\ { - 5 x + 4 y = 0 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} = 1.6$$

$$y=2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$25x+16y=72,-5x+4y=0$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$25x+16y=72$$

Dragðu 16y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$25x=-16y+72$$

Deildu báðum hliðum með 25.

$$x=\frac{1}{25}\left(-16y+72\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{25} sinnum -16y+72.

$$x=-\frac{16}{25}y+\frac{72}{25}$$

Settu \frac{-16y+72}{25} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -5x+4y=0.

$$-5\left(-\frac{16}{25}y+\frac{72}{25}\right)+4y=0$$

Margfaldaðu -5 sinnum \frac{-16y+72}{25}.

$$\frac{16}{5}y-\frac{72}{5}+4y=0$$

Leggðu \frac{16y}{5} saman við 4y.

$$\frac{36}{5}y-\frac{72}{5}=0$$

Leggðu \frac{72}{5} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{36}{5}y=\frac{72}{5}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{36}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í x=-\frac{16}{25}y+\frac{72}{25}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{16}{25}\times 2+\frac{72}{25}$$

Margfaldaðu -\frac{16}{25} sinnum 2.

$$x=\frac{-32+72}{25}$$

Leggðu \frac{72}{25} saman við -\frac{32}{25} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{8}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{8}{5},y=2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$25x+16y=72,-5x+4y=0$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}25&16\\-5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}25&16\\-5&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&16\\-5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&16\\-5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&16\\-5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&16\\-5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&16\\-5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25\times 4-16\left(-5\right)}&-\frac{16}{25\times 4-16\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{25\times 4-16\left(-5\right)}&\frac{25}{25\times 4-16\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{45}&-\frac{4}{45}\\\frac{1}{36}&\frac{5}{36}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{45}\times 72\\\frac{1}{36}\times 72\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}\\2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{8}{5},y=2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$25x+16y=72,-5x+4y=0$$

Til að gera 25x og -5x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 25.

$$-5\times 25x-5\times 16y=-5\times 72,25\left(-5\right)x+25\times 4y=0$$

Einfaldaðu.

$$-125x-80y=-360,-125x+100y=0$$

Dragðu -125x+100y=0 frá -125x-80y=-360 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-125x+125x-80y-100y=-360$$

Leggðu -125x saman við 125x. Liðirnir -125x og 125x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-80y-100y=-360$$

Leggðu -80y saman við -100y.

$$-180y=-360$$

Deildu báðum hliðum með -180.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í -5x+4y=0. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-5x+4\times 2=0$$

Margfaldaðu 4 sinnum 2.

$$-5x+8=0$$

Dragðu 8 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-5x=-8$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$x=\frac{8}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{8}{5},y=2$$