Leysa {l}{2300x+1200y=18800}{2443.75x+1200y=22975}

$$\left. \begin{array} { l } { 2300 x + 1200 y = 18800 } \\ { 2443.75 x + 1200 y = 22975 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{668}{23} = 29\frac{1}{23} \approx 29.043478261$$

$$y=-40$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2300x+1200y=18800,2443.75x+1200y=22975$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2300x+1200y=18800$$

Dragðu 1200y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2300x=-1200y+18800$$

Deildu báðum hliðum með 2300.

$$x=\frac{1}{2300}\left(-1200y+18800\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2300} sinnum -1200y+18800.

$$x=-\frac{12}{23}y+\frac{188}{23}$$

Settu \frac{-12y+188}{23} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2443.75x+1200y=22975.

$$2443.75\left(-\frac{12}{23}y+\frac{188}{23}\right)+1200y=22975$$

Margfaldaðu 2443.75 sinnum \frac{-12y+188}{23}.

$$-1275y+19975+1200y=22975$$

Leggðu -1275y saman við 1200y.

$$-75y+19975=22975$$

Dragðu 19975 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-75y=3000$$

Deildu báðum hliðum með -75.

$$y=-40$$

Skiptu -40 út fyrir y í x=-\frac{12}{23}y+\frac{188}{23}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{12}{23}\left(-40\right)+\frac{188}{23}$$

Margfaldaðu -\frac{12}{23} sinnum -40.

$$x=\frac{480+188}{23}$$

Leggðu \frac{188}{23} saman við \frac{480}{23} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{668}{23}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{668}{23},y=-40$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2300x+1200y=18800,2443.75x+1200y=22975$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2300&1200\\2443.75&1200\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18800\\22975\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2300&1200\\2443.75&1200\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2300&1200\\2443.75&1200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2300&1200\\2443.75&1200\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2300&1200\\2443.75&1200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18800\\22975\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2300&1200\\2443.75&1200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18800\\22975\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2300&1200\\2443.75&1200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18800\\22975\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1200}{2300\times 1200-1200\times 2443.75}&-\frac{1200}{2300\times 1200-1200\times 2443.75}\\-\frac{2443.75}{2300\times 1200-1200\times 2443.75}&\frac{2300}{2300\times 1200-1200\times 2443.75}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18800\\22975\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{575}&\frac{4}{575}\\\frac{17}{1200}&-\frac{1}{75}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18800\\22975\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{575}\times 18800+\frac{4}{575}\times 22975\\\frac{17}{1200}\times 18800-\frac{1}{75}\times 22975\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{668}{23}\\-40\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{668}{23},y=-40$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2300x+1200y=18800,2443.75x+1200y=22975$$

Dragðu 2443.75x+1200y=22975 frá 2300x+1200y=18800 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2300x-2443.75x+1200y-1200y=18800-22975$$

Leggðu 1200y saman við -1200y. Liðirnir 1200y og -1200y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$2300x-2443.75x=18800-22975$$

Leggðu 2300x saman við -\frac{9775x}{4}.

$$-143.75x=18800-22975$$

Leggðu 18800 saman við -22975.

$$-143.75x=-4175$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -143.75. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=\frac{668}{23}$$

Skiptu \frac{668}{23} út fyrir x í 2443.75x+1200y=22975. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$2443.75\times \frac{668}{23}+1200y=22975$$

Margfaldaðu 2443.75 sinnum \frac{668}{23} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$70975+1200y=22975$$

Dragðu 70975 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$1200y=-48000$$

Deildu báðum hliðum með 1200.

$$y=-40$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{668}{23},y=-40$$