Leysa {l}{2x-5y=-21}{3x+2y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 5 y = - 21 } \\ { 3 x + 2 y = - 3 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-3$$

$$y=3$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x-5y=-21,3x+2y=-3$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x-5y=-21$$

Leggðu 5y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=5y-21$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(5y-21\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum 5y-21.

$$x=\frac{5}{2}y-\frac{21}{2}$$

Settu \frac{5y-21}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x+2y=-3.

$$3\left(\frac{5}{2}y-\frac{21}{2}\right)+2y=-3$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{5y-21}{2}.

$$\frac{15}{2}y-\frac{63}{2}+2y=-3$$

Leggðu \frac{15y}{2} saman við 2y.

$$\frac{19}{2}y-\frac{63}{2}=-3$$

Leggðu \frac{63}{2} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{19}{2}y=\frac{57}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{19}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=3$$

Skiptu 3 út fyrir y í x=\frac{5}{2}y-\frac{21}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{5}{2}\times 3-\frac{21}{2}$$

Margfaldaðu \frac{5}{2} sinnum 3.

$$x=\frac{15-21}{2}$$

Leggðu -\frac{21}{2} saman við \frac{15}{2} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-3,y=3$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x-5y=-21,3x+2y=-3$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-21\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-21\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-21\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-21\\-3\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-21\\-3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}&\frac{5}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-21\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\left(-21\right)+\frac{5}{19}\left(-3\right)\\-\frac{3}{19}\left(-21\right)+\frac{2}{19}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-3,y=3$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x-5y=-21,3x+2y=-3$$

Til að gera 2x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$3\times 2x+3\left(-5\right)y=3\left(-21\right),2\times 3x+2\times 2y=2\left(-3\right)$$

Einfaldaðu.

$$6x-15y=-63,6x+4y=-6$$

Dragðu 6x+4y=-6 frá 6x-15y=-63 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6x-6x-15y-4y=-63+6$$

Leggðu 6x saman við -6x. Liðirnir 6x og -6x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-15y-4y=-63+6$$

Leggðu -15y saman við -4y.

$$-19y=-63+6$$

Leggðu -63 saman við 6.

$$-19y=-57$$

Deildu báðum hliðum með -19.

$$y=3$$

Skiptu 3 út fyrir y í 3x+2y=-3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x+2\times 3=-3$$

Margfaldaðu 2 sinnum 3.

$$3x+6=-3$$

Dragðu 6 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-9$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=-3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-3,y=3$$