Leysa {l}{2x-3y=-1}{2x+3y=16}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = - 1 } \\ { 2 x + 3 y = 16 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{15}{4} = 3\frac{3}{4} = 3.75$$

$$y = \frac{17}{6} = 2\frac{5}{6} \approx 2.833333333$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x-3y=-1,2x+3y=16$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x-3y=-1$$

Leggðu 3y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=3y-1$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-1\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum 3y-1.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}$$

Settu \frac{3y-1}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+3y=16.

$$2\left(\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}\right)+3y=16$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{3y-1}{2}.

$$3y-1+3y=16$$

Leggðu 3y saman við 3y.

$$6y-1=16$$

Leggðu 1 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$6y=17$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$y=\frac{17}{6}$$

Skiptu \frac{17}{6} út fyrir y í x=\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{17}{6}-\frac{1}{2}$$

Margfaldaðu \frac{3}{2} sinnum \frac{17}{6} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{17}{4}-\frac{1}{2}$$

Leggðu -\frac{1}{2} saman við \frac{17}{4} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{15}{4}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{15}{4},y=\frac{17}{6}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x-3y=-1,2x+3y=16$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\16\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\16\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\16\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\16\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\16\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\16\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-1\right)+\frac{1}{4}\times 16\\-\frac{1}{6}\left(-1\right)+\frac{1}{6}\times 16\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{4}\\\frac{17}{6}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{15}{4},y=\frac{17}{6}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x-3y=-1,2x+3y=16$$

Dragðu 2x+3y=16 frá 2x-3y=-1 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2x-2x-3y-3y=-1-16$$

Leggðu 2x saman við -2x. Liðirnir 2x og -2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-3y-3y=-1-16$$

Leggðu -3y saman við -3y.

$$-6y=-1-16$$

Leggðu -1 saman við -16.

$$-6y=-17$$

Deildu báðum hliðum með -6.

$$y=\frac{17}{6}$$

Skiptu \frac{17}{6} út fyrir y í 2x+3y=16. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x+3\times \frac{17}{6}=16$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{17}{6}.

$$2x+\frac{17}{2}=16$$

Dragðu \frac{17}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=\frac{15}{2}$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{15}{4}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{15}{4},y=\frac{17}{6}$$