Leysa {l}{2x+y-7=0}{17x-11y-8=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y - 7 = 0 } \\ { 17 x - 11 y - 8 = 0 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{85}{39} = 2\frac{7}{39} \approx 2.179487179$$

$$y = \frac{103}{39} = 2\frac{25}{39} \approx 2.641025641$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+y-7=0,17x-11y-8=0$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+y-7=0$$

Leggðu 7 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x+y=7$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-y+7$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+7\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -y+7.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}$$

Settu \frac{-y+7}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 17x-11y-8=0.

$$17\left(-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}\right)-11y-8=0$$

Margfaldaðu 17 sinnum \frac{-y+7}{2}.

$$-\frac{17}{2}y+\frac{119}{2}-11y-8=0$$

Leggðu -\frac{17y}{2} saman við -11y.

$$-\frac{39}{2}y+\frac{119}{2}-8=0$$

Leggðu \frac{119}{2} saman við -8.

$$-\frac{39}{2}y+\frac{103}{2}=0$$

Dragðu \frac{103}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{39}{2}y=-\frac{103}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{39}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{103}{39}$$

Skiptu \frac{103}{39} út fyrir y í x=-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{103}{39}+\frac{7}{2}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{2} sinnum \frac{103}{39} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{103}{78}+\frac{7}{2}$$

Leggðu \frac{7}{2} saman við -\frac{103}{78} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{85}{39}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{85}{39},y=\frac{103}{39}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+y-7=0,17x-11y-8=0$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{2\left(-11\right)-17}&-\frac{1}{2\left(-11\right)-17}\\-\frac{17}{2\left(-11\right)-17}&\frac{2}{2\left(-11\right)-17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{39}&\frac{1}{39}\\\frac{17}{39}&-\frac{2}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{39}\times 7+\frac{1}{39}\times 8\\\frac{17}{39}\times 7-\frac{2}{39}\times 8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{85}{39}\\\frac{103}{39}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{85}{39},y=\frac{103}{39}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+y-7=0,17x-11y-8=0$$

Til að gera 2x og 17x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 17 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$17\times 2x+17y+17\left(-7\right)=0,2\times 17x+2\left(-11\right)y+2\left(-8\right)=0$$

Einfaldaðu.

$$34x+17y-119=0,34x-22y-16=0$$

Dragðu 34x-22y-16=0 frá 34x+17y-119=0 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$34x-34x+17y+22y-119+16=0$$

Leggðu 34x saman við -34x. Liðirnir 34x og -34x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$17y+22y-119+16=0$$

Leggðu 17y saman við 22y.

$$39y-119+16=0$$

Leggðu -119 saman við 16.

$$39y-103=0$$

Leggðu 103 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$39y=103$$

Deildu báðum hliðum með 39.

$$y=\frac{103}{39}$$

Skiptu \frac{103}{39} út fyrir y í 17x-11y-8=0. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$17x-11\times \frac{103}{39}-8=0$$

Margfaldaðu -11 sinnum \frac{103}{39}.

$$17x-\frac{1133}{39}-8=0$$

Leggðu -\frac{1133}{39} saman við -8.

$$17x-\frac{1445}{39}=0$$

Leggðu \frac{1445}{39} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$17x=\frac{1445}{39}$$

Deildu báðum hliðum með 17.

$$x=\frac{85}{39}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{85}{39},y=\frac{103}{39}$$