Leysa {l}{2x+y=37}{4y-x=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 37 } \\ { 4 y - x = 6 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{142}{9} = 15\frac{7}{9} \approx 15.777777778$$

$$y = \frac{49}{9} = 5\frac{4}{9} \approx 5.444444444$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+y=37,-x+4y=6$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+y=37$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-y+37$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+37\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -y+37.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{37}{2}$$

Settu \frac{-y+37}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -x+4y=6.

$$-\left(-\frac{1}{2}y+\frac{37}{2}\right)+4y=6$$

Margfaldaðu -1 sinnum \frac{-y+37}{2}.

$$\frac{1}{2}y-\frac{37}{2}+4y=6$$

Leggðu \frac{y}{2} saman við 4y.

$$\frac{9}{2}y-\frac{37}{2}=6$$

Leggðu \frac{37}{2} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{9}{2}y=\frac{49}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{9}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{49}{9}$$

Skiptu \frac{49}{9} út fyrir y í x=-\frac{1}{2}y+\frac{37}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{49}{9}+\frac{37}{2}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{2} sinnum \frac{49}{9} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{49}{18}+\frac{37}{2}$$

Leggðu \frac{37}{2} saman við -\frac{49}{18} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{142}{9}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{142}{9},y=\frac{49}{9}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+y=37,-x+4y=6$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}37\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&1\\-1&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}37\\6\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}37\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}37\\6\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-\left(-1\right)}&-\frac{1}{2\times 4-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{2\times 4-\left(-1\right)}&\frac{2}{2\times 4-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}37\\6\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9}&-\frac{1}{9}\\\frac{1}{9}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}37\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9}\times 37-\frac{1}{9}\times 6\\\frac{1}{9}\times 37+\frac{2}{9}\times 6\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{142}{9}\\\frac{49}{9}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{142}{9},y=\frac{49}{9}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+y=37,-x+4y=6$$

Til að gera 2x og -x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$-2x-y=-37,2\left(-1\right)x+2\times 4y=2\times 6$$

Einfaldaðu.

$$-2x-y=-37,-2x+8y=12$$

Dragðu -2x+8y=12 frá -2x-y=-37 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-2x+2x-y-8y=-37-12$$

Leggðu -2x saman við 2x. Liðirnir -2x og 2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-y-8y=-37-12$$

Leggðu -y saman við -8y.

$$-9y=-37-12$$

Leggðu -37 saman við -12.

$$-9y=-49$$

Deildu báðum hliðum með -9.

$$y=\frac{49}{9}$$

Skiptu \frac{49}{9} út fyrir y í -x+4y=6. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-x+4\times \frac{49}{9}=6$$

Margfaldaðu 4 sinnum \frac{49}{9}.

$$-x+\frac{196}{9}=6$$

Dragðu \frac{196}{9} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-x=-\frac{142}{9}$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$x=\frac{142}{9}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{142}{9},y=\frac{49}{9}$$