Leysa {l}{2x+y=2}{y=-x-2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 2 } \\ { y = - x - 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=4$$

$$y=-6$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu x við báðar hliðar.

$$y+x=-2$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+y=2,x+y=-2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+y=2$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-y+2$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+2\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -y+2.

$$x=-\frac{1}{2}y+1$$

Settu -\frac{y}{2}+1 inn fyrir x í hinni jöfnunni, x+y=-2.

$$-\frac{1}{2}y+1+y=-2$$

Leggðu -\frac{y}{2} saman við y.

$$\frac{1}{2}y+1=-2$$

Dragðu 1 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{1}{2}y=-3$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 2.

$$y=-6$$

Skiptu -6 út fyrir y í x=-\frac{1}{2}y+1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-6\right)+1$$

Margfaldaðu -\frac{1}{2} sinnum -6.

$$x=3+1$$

Leggðu 1 saman við 3.

$$x=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=4,y=-6$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu x við báðar hliðar.

$$y+x=-2$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+y=2,x+y=-2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-1}&-\frac{1}{2-1}\\-\frac{1}{2-1}&\frac{2}{2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2-\left(-2\right)\\-2+2\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=4,y=-6$$

Skref með útilokun

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu x við báðar hliðar.

$$y+x=-2$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+y=2,x+y=-2$$

Dragðu x+y=-2 frá 2x+y=2 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2x-x+y-y=2+2$$

Leggðu y saman við -y. Liðirnir y og -y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$2x-x=2+2$$

Leggðu 2x saman við -x.

$$x=2+2$$

Leggðu 2 saman við 2.

$$x=4$$

Skiptu 4 út fyrir x í x+y=-2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$4+y=-2$$

Dragðu 4 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$y=-6$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=4,y=-6$$