Leysa {l}{2x+7y=22}{2x-3y=-14}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 7 y = 22 } \\ { 2 x - 3 y = - 14 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1.6$$

$$y = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3.6$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+7y=22,2x-3y=-14$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+7y=22$$

Dragðu 7y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-7y+22$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-7y+22\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -7y+22.

$$x=-\frac{7}{2}y+11$$

Settu -\frac{7y}{2}+11 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x-3y=-14.

$$2\left(-\frac{7}{2}y+11\right)-3y=-14$$

Margfaldaðu 2 sinnum -\frac{7y}{2}+11.

$$-7y+22-3y=-14$$

Leggðu -7y saman við -3y.

$$-10y+22=-14$$

Dragðu 22 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-10y=-36$$

Deildu báðum hliðum með -10.

$$y=\frac{18}{5}$$

Skiptu \frac{18}{5} út fyrir y í x=-\frac{7}{2}y+11. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{7}{2}\times \frac{18}{5}+11$$

Margfaldaðu -\frac{7}{2} sinnum \frac{18}{5} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{63}{5}+11$$

Leggðu 11 saman við -\frac{63}{5}.

$$x=-\frac{8}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{8}{5},y=\frac{18}{5}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+7y=22,2x-3y=-14$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\-14\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-14\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-14\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-14\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-7\times 2}&-\frac{7}{2\left(-3\right)-7\times 2}\\-\frac{2}{2\left(-3\right)-7\times 2}&\frac{2}{2\left(-3\right)-7\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-14\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}&\frac{7}{20}\\\frac{1}{10}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-14\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}\times 22+\frac{7}{20}\left(-14\right)\\\frac{1}{10}\times 22-\frac{1}{10}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{5}\\\frac{18}{5}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{8}{5},y=\frac{18}{5}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+7y=22,2x-3y=-14$$

Dragðu 2x-3y=-14 frá 2x+7y=22 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2x-2x+7y+3y=22+14$$

Leggðu 2x saman við -2x. Liðirnir 2x og -2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$7y+3y=22+14$$

Leggðu 7y saman við 3y.

$$10y=22+14$$

Leggðu 22 saman við 14.

$$10y=36$$

Deildu báðum hliðum með 10.

$$y=\frac{18}{5}$$

Skiptu \frac{18}{5} út fyrir y í 2x-3y=-14. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x-3\times \frac{18}{5}=-14$$

Margfaldaðu -3 sinnum \frac{18}{5}.

$$2x-\frac{54}{5}=-14$$

Leggðu \frac{54}{5} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=-\frac{16}{5}$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=-\frac{8}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{8}{5},y=\frac{18}{5}$$