Leysa {l}{2x+5y=24}{4x-7y=-37}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 24 } \\ { 4 x - 7 y = - 37 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$y=5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+5y=24,4x-7y=-37$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+5y=24$$

Dragðu 5y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-5y+24$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+24\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -5y+24.

$$x=-\frac{5}{2}y+12$$

Settu -\frac{5y}{2}+12 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 4x-7y=-37.

$$4\left(-\frac{5}{2}y+12\right)-7y=-37$$

Margfaldaðu 4 sinnum -\frac{5y}{2}+12.

$$-10y+48-7y=-37$$

Leggðu -10y saman við -7y.

$$-17y+48=-37$$

Dragðu 48 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-17y=-85$$

Deildu báðum hliðum með -17.

$$y=5$$

Skiptu 5 út fyrir y í x=-\frac{5}{2}y+12. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{5}{2}\times 5+12$$

Margfaldaðu -\frac{5}{2} sinnum 5.

$$x=-\frac{25}{2}+12$$

Leggðu 12 saman við -\frac{25}{2}.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{1}{2},y=5$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+5y=24,4x-7y=-37$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\4&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\-37\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&5\\4&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\4&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\4&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\4&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-37\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\4&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-37\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\4&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-37\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{2\left(-7\right)-5\times 4}&-\frac{5}{2\left(-7\right)-5\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-7\right)-5\times 4}&\frac{2}{2\left(-7\right)-5\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-37\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{34}&\frac{5}{34}\\\frac{2}{17}&-\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-37\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{34}\times 24+\frac{5}{34}\left(-37\right)\\\frac{2}{17}\times 24-\frac{1}{17}\left(-37\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\\5\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{1}{2},y=5$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+5y=24,4x-7y=-37$$

Til að gera 2x og 4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$4\times 2x+4\times 5y=4\times 24,2\times 4x+2\left(-7\right)y=2\left(-37\right)$$

Einfaldaðu.

$$8x+20y=96,8x-14y=-74$$

Dragðu 8x-14y=-74 frá 8x+20y=96 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$8x-8x+20y+14y=96+74$$

Leggðu 8x saman við -8x. Liðirnir 8x og -8x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$20y+14y=96+74$$

Leggðu 20y saman við 14y.

$$34y=96+74$$

Leggðu 96 saman við 74.

$$34y=170$$

Deildu báðum hliðum með 34.

$$y=5$$

Skiptu 5 út fyrir y í 4x-7y=-37. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$4x-7\times 5=-37$$

Margfaldaðu -7 sinnum 5.

$$4x-35=-37$$

Leggðu 35 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4x=-2$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{1}{2},y=5$$