Leysa {l}{2x+4y=362}{3x+2y=153.5}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 362 } \\ { 3 x + 2 y = 153.5 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-13.75$$

$$y=97.375$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+4y=362,3x+2y=153.5$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+4y=362$$

Dragðu 4y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-4y+362$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+362\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -4y+362.

$$x=-2y+181$$

Settu -2y+181 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x+2y=153.5.

$$3\left(-2y+181\right)+2y=153.5$$

Margfaldaðu 3 sinnum -2y+181.

$$-6y+543+2y=153.5$$

Leggðu -6y saman við 2y.

$$-4y+543=153.5$$

Dragðu 543 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-4y=-389.5$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$y=97.375$$

Skiptu 97.375 út fyrir y í x=-2y+181. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-2\times 97.375+181$$

Margfaldaðu -2 sinnum 97.375.

$$x=-194.75+181$$

Leggðu 181 saman við -194.75.

$$x=-13.75$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-13.75,y=97.375$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+4y=362,3x+2y=153.5$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}362\\153.5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}362\\153.5\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}362\\153.5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}362\\153.5\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-4\times 3}&-\frac{4}{2\times 2-4\times 3}\\-\frac{3}{2\times 2-4\times 3}&\frac{2}{2\times 2-4\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}362\\153.5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}362\\153.5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 362+\frac{1}{2}\times 153.5\\\frac{3}{8}\times 362-\frac{1}{4}\times 153.5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{55}{4}\\\frac{779}{8}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{55}{4},y=\frac{779}{8}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+4y=362,3x+2y=153.5$$

Til að gera 2x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$3\times 2x+3\times 4y=3\times 362,2\times 3x+2\times 2y=2\times 153.5$$

Einfaldaðu.

$$6x+12y=1086,6x+4y=307$$

Dragðu 6x+4y=307 frá 6x+12y=1086 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6x-6x+12y-4y=1086-307$$

Leggðu 6x saman við -6x. Liðirnir 6x og -6x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$12y-4y=1086-307$$

Leggðu 12y saman við -4y.

$$8y=1086-307$$

Leggðu 1086 saman við -307.

$$8y=779$$

Deildu báðum hliðum með 8.

$$y=\frac{779}{8}$$

Skiptu \frac{779}{8} út fyrir y í 3x+2y=153.5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x+2\times \frac{779}{8}=153.5$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{779}{8}.

$$3x+\frac{779}{4}=153.5$$

Dragðu \frac{779}{4} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-\frac{165}{4}$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=-\frac{55}{4}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{55}{4},y=\frac{779}{8}$$