Leysa {l}{2x+3y=53}{3x-y=19}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 53 } \\ { 3 x - y = 19 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=10$$

$$y=11$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+3y=53,3x-y=19$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+3y=53$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-3y+53$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+53\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -3y+53.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{53}{2}$$

Settu \frac{-3y+53}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x-y=19.

$$3\left(-\frac{3}{2}y+\frac{53}{2}\right)-y=19$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{-3y+53}{2}.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{159}{2}-y=19$$

Leggðu -\frac{9y}{2} saman við -y.

$$-\frac{11}{2}y+\frac{159}{2}=19$$

Dragðu \frac{159}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{11}{2}y=-\frac{121}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{11}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=11$$

Skiptu 11 út fyrir y í x=-\frac{3}{2}y+\frac{53}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{3}{2}\times 11+\frac{53}{2}$$

Margfaldaðu -\frac{3}{2} sinnum 11.

$$x=\frac{-33+53}{2}$$

Leggðu \frac{53}{2} saman við -\frac{33}{2} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=10$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=10,y=11$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+3y=53,3x-y=19$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}53\\19\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&3\\3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}53\\19\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}53\\19\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}53\\19\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-3\times 3}&-\frac{3}{2\left(-1\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-1\right)-3\times 3}&\frac{2}{2\left(-1\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}53\\19\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{3}{11}\\\frac{3}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}53\\19\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 53+\frac{3}{11}\times 19\\\frac{3}{11}\times 53-\frac{2}{11}\times 19\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=10,y=11$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+3y=53,3x-y=19$$

Til að gera 2x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$3\times 2x+3\times 3y=3\times 53,2\times 3x+2\left(-1\right)y=2\times 19$$

Einfaldaðu.

$$6x+9y=159,6x-2y=38$$

Dragðu 6x-2y=38 frá 6x+9y=159 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6x-6x+9y+2y=159-38$$

Leggðu 6x saman við -6x. Liðirnir 6x og -6x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$9y+2y=159-38$$

Leggðu 9y saman við 2y.

$$11y=159-38$$

Leggðu 159 saman við -38.

$$11y=121$$

Deildu báðum hliðum með 11.

$$y=11$$

Skiptu 11 út fyrir y í 3x-y=19. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x-11=19$$

Leggðu 11 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=30$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=10$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=10,y=11$$