Leysa {l}{2x+2y=6}{x-3y=-1}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 2 y = 6 } \\ { x - 3 y = - 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=2$$

$$y=1$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+2y=6,x-3y=-1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+2y=6$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-2y+6$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-2y+6\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -2y+6.

$$x=-y+3$$

Settu -y+3 inn fyrir x í hinni jöfnunni, x-3y=-1.

$$-y+3-3y=-1$$

Leggðu -y saman við -3y.

$$-4y+3=-1$$

Dragðu 3 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-4y=-4$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$y=1$$

Skiptu 1 út fyrir y í x=-y+3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-1+3$$

Leggðu 3 saman við -1.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=1$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+2y=6,x-3y=-1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&2\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&2\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&2\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-2}&-\frac{2}{2\left(-3\right)-2}\\-\frac{1}{2\left(-3\right)-2}&\frac{2}{2\left(-3\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{8}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\times 6+\frac{1}{4}\left(-1\right)\\\frac{1}{8}\times 6-\frac{1}{4}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=2,y=1$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+2y=6,x-3y=-1$$

Til að gera 2x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$2x+2y=6,2x+2\left(-3\right)y=2\left(-1\right)$$

Einfaldaðu.

$$2x+2y=6,2x-6y=-2$$

Dragðu 2x-6y=-2 frá 2x+2y=6 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2x-2x+2y+6y=6+2$$

Leggðu 2x saman við -2x. Liðirnir 2x og -2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$2y+6y=6+2$$

Leggðu 2y saman við 6y.

$$8y=6+2$$

Leggðu 6 saman við 2.

$$8y=8$$

Deildu báðum hliðum með 8.

$$y=1$$

Skiptu 1 út fyrir y í x-3y=-1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x-3=-1$$

Leggðu 3 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=1$$