Leysa {l}{2x+2y=6}{7y-5x=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 2 y = 6 } \\ { 7 y - 5 x = 11 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$y = \frac{13}{6} = 2\frac{1}{6} \approx 2.166666667$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+2y=6,-5x+7y=11$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+2y=6$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-2y+6$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-2y+6\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -2y+6.

$$x=-y+3$$

Settu -y+3 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -5x+7y=11.

$$-5\left(-y+3\right)+7y=11$$

Margfaldaðu -5 sinnum -y+3.

$$5y-15+7y=11$$

Leggðu 5y saman við 7y.

$$12y-15=11$$

Leggðu 15 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$12y=26$$

Deildu báðum hliðum með 12.

$$y=\frac{13}{6}$$

Skiptu \frac{13}{6} út fyrir y í x=-y+3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{13}{6}+3$$

Leggðu 3 saman við -\frac{13}{6}.

$$x=\frac{5}{6}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{5}{6},y=\frac{13}{6}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+2y=6,-5x+7y=11$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&2\\-5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&2\\-5&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&2\\-5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-2\left(-5\right)}&-\frac{2}{2\times 7-2\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{2\times 7-2\left(-5\right)}&\frac{2}{2\times 7-2\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{24}&-\frac{1}{12}\\\frac{5}{24}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{24}\times 6-\frac{1}{12}\times 11\\\frac{5}{24}\times 6+\frac{1}{12}\times 11\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\\frac{13}{6}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{5}{6},y=\frac{13}{6}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+2y=6,-5x+7y=11$$

Til að gera 2x og -5x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$-5\times 2x-5\times 2y=-5\times 6,2\left(-5\right)x+2\times 7y=2\times 11$$

Einfaldaðu.

$$-10x-10y=-30,-10x+14y=22$$

Dragðu -10x+14y=22 frá -10x-10y=-30 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-10x+10x-10y-14y=-30-22$$

Leggðu -10x saman við 10x. Liðirnir -10x og 10x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-10y-14y=-30-22$$

Leggðu -10y saman við -14y.

$$-24y=-30-22$$

Leggðu -30 saman við -22.

$$-24y=-52$$

Deildu báðum hliðum með -24.

$$y=\frac{13}{6}$$

Skiptu \frac{13}{6} út fyrir y í -5x+7y=11. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-5x+7\times \frac{13}{6}=11$$

Margfaldaðu 7 sinnum \frac{13}{6}.

$$-5x+\frac{91}{6}=11$$

Dragðu \frac{91}{6} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-5x=-\frac{25}{6}$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$x=\frac{5}{6}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{5}{6},y=\frac{13}{6}$$