Leysa {l}{18x+ky=-17}{-12x+8y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 18 x + k y = - 17 } \\ { - 12 x + 8 y = 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-\frac{k+136}{12\left(k+12\right)}$$

$$y=-\frac{31}{2\left(k+12\right)}$$

$$k\neq -12$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$18x+ky=-17,-12x+8y=1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$18x+ky=-17$$

Dragðu ky frá báðum hliðum jöfnunar.

$$18x=\left(-k\right)y-17$$

Deildu báðum hliðum með 18.

$$x=\frac{1}{18}\left(\left(-k\right)y-17\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{18} sinnum -ky-17.

$$x=\left(-\frac{k}{18}\right)y-\frac{17}{18}$$

Settu \frac{-ky-17}{18} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -12x+8y=1.

$$-12\left(\left(-\frac{k}{18}\right)y-\frac{17}{18}\right)+8y=1$$

Margfaldaðu -12 sinnum \frac{-ky-17}{18}.

$$\frac{2k}{3}y+\frac{34}{3}+8y=1$$

Leggðu \frac{2ky}{3} saman við 8y.

$$\left(\frac{2k}{3}+8\right)y+\frac{34}{3}=1$$

Dragðu \frac{34}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\left(\frac{2k}{3}+8\right)y=-\frac{31}{3}$$

Deildu báðum hliðum með \frac{2k}{3}+8.

$$y=-\frac{31}{2\left(k+12\right)}$$

Skiptu -\frac{31}{2\left(12+k\right)} út fyrir y í x=\left(-\frac{k}{18}\right)y-\frac{17}{18}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\left(-\frac{k}{18}\right)\left(-\frac{31}{2\left(k+12\right)}\right)-\frac{17}{18}$$

Margfaldaðu -\frac{k}{18} sinnum -\frac{31}{2\left(12+k\right)}.

$$x=\frac{31k}{36\left(k+12\right)}-\frac{17}{18}$$

Leggðu -\frac{17}{18} saman við \frac{31k}{36\left(12+k\right)}.

$$x=-\frac{k+136}{12\left(k+12\right)}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{k+136}{12\left(k+12\right)},y=-\frac{31}{2\left(k+12\right)}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$18x+ky=-17,-12x+8y=1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}18&k\\-12&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-17\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}18&k\\-12&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}18&k\\-12&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18&k\\-12&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&k\\-12&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&k\\-12&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&k\\-12&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{18\times 8-k\left(-12\right)}&-\frac{k}{18\times 8-k\left(-12\right)}\\-\frac{-12}{18\times 8-k\left(-12\right)}&\frac{18}{18\times 8-k\left(-12\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\left(k+12\right)}&-\frac{k}{12\left(k+12\right)}\\\frac{1}{k+12}&\frac{3}{2\left(k+12\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\left(k+12\right)}\left(-17\right)-\frac{k}{12\left(k+12\right)}\\\frac{1}{k+12}\left(-17\right)+\frac{3}{2\left(k+12\right)}\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{k+136}{12\left(k+12\right)}\\-\frac{31}{2\left(k+12\right)}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{k+136}{12\left(k+12\right)},y=-\frac{31}{2\left(k+12\right)}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$18x+ky=-17,-12x+8y=1$$

Til að gera 18x og -12x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -12 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 18.

$$-12\times 18x-12ky=-12\left(-17\right),18\left(-12\right)x+18\times 8y=18$$

Einfaldaðu.

$$-216x+\left(-12k\right)y=204,-216x+144y=18$$

Dragðu -216x+144y=18 frá -216x+\left(-12k\right)y=204 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-216x+216x+\left(-12k\right)y-144y=204-18$$

Leggðu -216x saman við 216x. Liðirnir -216x og 216x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$\left(-12k\right)y-144y=204-18$$

Leggðu -12ky saman við -144y.

$$\left(-12k-144\right)y=204-18$$

Leggðu 204 saman við -18.

$$\left(-12k-144\right)y=186$$

Deildu báðum hliðum með -12k-144.

$$y=-\frac{31}{2\left(k+12\right)}$$

Skiptu -\frac{31}{2\left(12+k\right)} út fyrir y í -12x+8y=1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-12x+8\left(-\frac{31}{2\left(k+12\right)}\right)=1$$

Margfaldaðu 8 sinnum -\frac{31}{2\left(12+k\right)}.

$$-12x-\frac{124}{k+12}=1$$

Leggðu \frac{124}{12+k} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-12x=\frac{k+136}{k+12}$$

Deildu báðum hliðum með -12.

$$x=-\frac{k+136}{12\left(k+12\right)}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{k+136}{12\left(k+12\right)},y=-\frac{31}{2\left(k+12\right)}$$