Leysa {l}{11x+5y=7}{6x+3y=21}

$$\left. \begin{array} { l } { 11 x + 5 y = 7 } \\ { 6 x + 3 y = 21 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-28$$

$$y=63$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$11x+5y=7,6x+3y=21$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$11x+5y=7$$

Dragðu 5y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$11x=-5y+7$$

Deildu báðum hliðum með 11.

$$x=\frac{1}{11}\left(-5y+7\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{11} sinnum -5y+7.

$$x=-\frac{5}{11}y+\frac{7}{11}$$

Settu \frac{-5y+7}{11} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 6x+3y=21.

$$6\left(-\frac{5}{11}y+\frac{7}{11}\right)+3y=21$$

Margfaldaðu 6 sinnum \frac{-5y+7}{11}.

$$-\frac{30}{11}y+\frac{42}{11}+3y=21$$

Leggðu -\frac{30y}{11} saman við 3y.

$$\frac{3}{11}y+\frac{42}{11}=21$$

Dragðu \frac{42}{11} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{3}{11}y=\frac{189}{11}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{3}{11}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=63$$

Skiptu 63 út fyrir y í x=-\frac{5}{11}y+\frac{7}{11}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{5}{11}\times 63+\frac{7}{11}$$

Margfaldaðu -\frac{5}{11} sinnum 63.

$$x=\frac{-315+7}{11}$$

Leggðu \frac{7}{11} saman við -\frac{315}{11} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-28$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-28,y=63$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$11x+5y=7,6x+3y=21$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11\times 3-5\times 6}&-\frac{5}{11\times 3-5\times 6}\\-\frac{6}{11\times 3-5\times 6}&\frac{11}{11\times 3-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{3}\\-2&\frac{11}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7-\frac{5}{3}\times 21\\-2\times 7+\frac{11}{3}\times 21\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-28\\63\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-28,y=63$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$11x+5y=7,6x+3y=21$$

Til að gera 11x og 6x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 6 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 11.

$$6\times 11x+6\times 5y=6\times 7,11\times 6x+11\times 3y=11\times 21$$

Einfaldaðu.

$$66x+30y=42,66x+33y=231$$

Dragðu 66x+33y=231 frá 66x+30y=42 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$66x-66x+30y-33y=42-231$$

Leggðu 66x saman við -66x. Liðirnir 66x og -66x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$30y-33y=42-231$$

Leggðu 30y saman við -33y.

$$-3y=42-231$$

Leggðu 42 saman við -231.

$$-3y=-189$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$y=63$$

Skiptu 63 út fyrir y í 6x+3y=21. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$6x+3\times 63=21$$

Margfaldaðu 3 sinnum 63.

$$6x+189=21$$

Dragðu 189 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$6x=-168$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$x=-28$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-28,y=63$$