Leysa {l}{1=2r-3s}{4=3r+2s}

$$\left. \begin{array} { l } { 1 = 2 r - 3 s } \\ { 4 = 3 r + 2 s } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir r, s

$$r = \frac{14}{13} = 1\frac{1}{13} \approx 1.076923077$$

$$s=\frac{5}{13}\approx 0.384615385$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Skipta um hliðar svo allir liðir breytunnar séu vinstra megin.

$$2r-3s=1$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Skipta um hliðar svo allir liðir breytunnar séu vinstra megin.

$$3r+2s=4$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2r-3s=1,3r+2s=4$$

Veldu eina jöfnuna og leystu r með því að einangra r vinstra megin við samasemmerkið.

$$2r-3s=1$$

Leggðu 3s saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2r=3s+1$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$r=\frac{1}{2}\left(3s+1\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum 3s+1.

$$r=\frac{3}{2}s+\frac{1}{2}$$

Settu \frac{3s+1}{2} inn fyrir r í hinni jöfnunni, 3r+2s=4.

$$3\left(\frac{3}{2}s+\frac{1}{2}\right)+2s=4$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{3s+1}{2}.

$$\frac{9}{2}s+\frac{3}{2}+2s=4$$

Leggðu \frac{9s}{2} saman við 2s.

$$\frac{13}{2}s+\frac{3}{2}=4$$

Dragðu \frac{3}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{13}{2}s=\frac{5}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{13}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$s=\frac{5}{13}$$

Skiptu \frac{5}{13} út fyrir s í r=\frac{3}{2}s+\frac{1}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst r strax.

$$r=\frac{3}{2}\times \frac{5}{13}+\frac{1}{2}$$

Margfaldaðu \frac{3}{2} sinnum \frac{5}{13} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$r=\frac{15}{26}+\frac{1}{2}$$

Leggðu \frac{1}{2} saman við \frac{15}{26} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$r=\frac{14}{13}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$r=\frac{14}{13},s=\frac{5}{13}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Skipta um hliðar svo allir liðir breytunnar séu vinstra megin.

$$2r-3s=1$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Skipta um hliðar svo allir liðir breytunnar séu vinstra megin.

$$3r+2s=4$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2r-3s=1,3r+2s=4$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}+\frac{3}{13}\times 4\\-\frac{3}{13}+\frac{2}{13}\times 4\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{13}\\\frac{5}{13}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna r og s.

$$r=\frac{14}{13},s=\frac{5}{13}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Skipta um hliðar svo allir liðir breytunnar séu vinstra megin.

$$2r-3s=1$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Skipta um hliðar svo allir liðir breytunnar séu vinstra megin.

$$3r+2s=4$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2r-3s=1,3r+2s=4$$

Til að gera 2r og 3r jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$3\times 2r+3\left(-3\right)s=3,2\times 3r+2\times 2s=2\times 4$$

Einfaldaðu.

$$6r-9s=3,6r+4s=8$$

Dragðu 6r+4s=8 frá 6r-9s=3 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6r-6r-9s-4s=3-8$$

Leggðu 6r saman við -6r. Liðirnir 6r og -6r núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-9s-4s=3-8$$

Leggðu -9s saman við -4s.

$$-13s=3-8$$

Leggðu 3 saman við -8.

$$-13s=-5$$

Deildu báðum hliðum með -13.

$$s=\frac{5}{13}$$

Skiptu \frac{5}{13} út fyrir s í 3r+2s=4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst r strax.

$$3r+2\times \frac{5}{13}=4$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{5}{13}.

$$3r+\frac{10}{13}=4$$

Dragðu \frac{10}{13} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3r=\frac{42}{13}$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$r=\frac{14}{13}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$r=\frac{14}{13},s=\frac{5}{13}$$