Leysa {l}{0.4x+0.3y=1.7}{0.7x-0.2y=0.8}

$$\left. \begin{array} { l } { 0.4 x + 0.3 y = 1.7 } \\ { 0.7 x - 0.2 y = 0.8 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$0.4x+0.3y=1.7,0.7x-0.2y=0.8$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$0.4x+0.3y=1.7$$

Dragðu \frac{3y}{10} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$0.4x=-0.3y+1.7$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með 0.4. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=2.5\left(-0.3y+1.7\right)$$

Margfaldaðu 2.5 sinnum \frac{-3y+17}{10}.

$$x=-0.75y+4.25$$

Settu \frac{-3y+17}{4} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 0.7x-0.2y=0.8.

$$0.7\left(-0.75y+4.25\right)-0.2y=0.8$$

Margfaldaðu 0.7 sinnum \frac{-3y+17}{4}.

$$-0.525y+2.975-0.2y=0.8$$

Leggðu -\frac{21y}{40} saman við -\frac{y}{5}.

$$-0.725y+2.975=0.8$$

Dragðu 2.975 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-0.725y=-2.175$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -0.725. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=3$$

Skiptu 3 út fyrir y í x=-0.75y+4.25. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-0.75\times 3+4.25$$

Margfaldaðu -0.75 sinnum 3.

$$x=\frac{-9+17}{4}$$

Leggðu 4.25 saman við -2.25 með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=3$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$0.4x+0.3y=1.7,0.7x-0.2y=0.8$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}0.4&0.3\\0.7&-0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1.7\\0.8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}0.4&0.3\\0.7&-0.2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.3\\0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.4&0.3\\0.7&-0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.3\\0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.7\\0.8\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.3\\0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.7\\0.8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.3\\0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.7\\0.8\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.2}{0.4\left(-0.2\right)-0.3\times 0.7}&-\frac{0.3}{0.4\left(-0.2\right)-0.3\times 0.7}\\-\frac{0.7}{0.4\left(-0.2\right)-0.3\times 0.7}&\frac{0.4}{0.4\left(-0.2\right)-0.3\times 0.7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1.7\\0.8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{29}&\frac{30}{29}\\\frac{70}{29}&-\frac{40}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1.7\\0.8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{29}\times 1.7+\frac{30}{29}\times 0.8\\\frac{70}{29}\times 1.7-\frac{40}{29}\times 0.8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=2,y=3$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$0.4x+0.3y=1.7,0.7x-0.2y=0.8$$

Til að gera \frac{2x}{5} og \frac{7x}{10} jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 0.7 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 0.4.

$$0.7\times 0.4x+0.7\times 0.3y=0.7\times 1.7,0.4\times 0.7x+0.4\left(-0.2\right)y=0.4\times 0.8$$

Einfaldaðu.

$$0.28x+0.21y=1.19,0.28x-0.08y=0.32$$

Dragðu 0.28x-0.08y=0.32 frá 0.28x+0.21y=1.19 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$0.28x-0.28x+0.21y+0.08y=1.19-0.32$$

Leggðu \frac{7x}{25} saman við -\frac{7x}{25}. Liðirnir \frac{7x}{25} og -\frac{7x}{25} núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$0.21y+0.08y=1.19-0.32$$

Leggðu \frac{21y}{100} saman við \frac{2y}{25}.

$$0.29y=1.19-0.32$$

Leggðu 1.19 saman við -0.32 með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$0.29y=0.87$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með 0.29. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=3$$

Skiptu 3 út fyrir y í 0.7x-0.2y=0.8. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$0.7x-0.2\times 3=0.8$$

Margfaldaðu -0.2 sinnum 3.

$$0.7x-0.6=0.8$$

Leggðu 0.6 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$0.7x=1.4$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með 0.7. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=3$$