Leysa {l}{0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9}{0.041x_{2}-0.002x_{3}=0.117}

$$\left. \begin{array} { l } { 0.041 x _ { 3 } + 0.16 x _ { 2 } = 0.9 } \\ { 0.041 x _ { 2 } - 0.002 x _ { 3 } = 0.117 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x_3, x_2

$$x_{3} = \frac{6060}{667} = 9\frac{57}{667} \approx 9.085457271$$

$$x_{2} = \frac{2199}{667} = 3\frac{198}{667} \approx 3.296851574$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9,-0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x_{3} með því að einangra x_{3} vinstra megin við samasemmerkið.

$$0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9$$

Dragðu \frac{4x_{2}}{25} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$0.041x_{3}=-0.16x_{2}+0.9$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með 0.041. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x_{3}=\frac{1000}{41}\left(-0.16x_{2}+0.9\right)$$

Margfaldaðu \frac{1000}{41} sinnum -\frac{4x_{2}}{25}+0.9.

$$x_{3}=-\frac{160}{41}x_{2}+\frac{900}{41}$$

Settu \frac{-160x_{2}+900}{41} inn fyrir x_{3} í hinni jöfnunni, -0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117.

$$-0.002\left(-\frac{160}{41}x_{2}+\frac{900}{41}\right)+0.041x_{2}=0.117$$

Margfaldaðu -0.002 sinnum \frac{-160x_{2}+900}{41}.

$$\frac{8}{1025}x_{2}-\frac{9}{205}+0.041x_{2}=0.117$$

Leggðu \frac{8x_{2}}{1025} saman við \frac{41x_{2}}{1000}.

$$\frac{2001}{41000}x_{2}-\frac{9}{205}=0.117$$

Leggðu \frac{9}{205} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{2001}{41000}x_{2}=\frac{6597}{41000}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{2001}{41000}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x_{2}=\frac{2199}{667}$$

Skiptu \frac{2199}{667} út fyrir x_{2} í x_{3}=-\frac{160}{41}x_{2}+\frac{900}{41}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x_{3} strax.

$$x_{3}=-\frac{160}{41}\times \frac{2199}{667}+\frac{900}{41}$$

Margfaldaðu -\frac{160}{41} sinnum \frac{2199}{667} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x_{3}=-\frac{351840}{27347}+\frac{900}{41}$$

Leggðu \frac{900}{41} saman við -\frac{351840}{27347} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x_{3}=\frac{6060}{667}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x_{3}=\frac{6060}{667},x_{2}=\frac{2199}{667}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9,-0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.041}{0.041\times 0.041-0.16\left(-0.002\right)}&-\frac{0.16}{0.041\times 0.041-0.16\left(-0.002\right)}\\-\frac{-0.002}{0.041\times 0.041-0.16\left(-0.002\right)}&\frac{0.041}{0.041\times 0.041-0.16\left(-0.002\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{41000}{2001}&-\frac{160000}{2001}\\\frac{2000}{2001}&\frac{41000}{2001}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{41000}{2001}\times 0.9-\frac{160000}{2001}\times 0.117\\\frac{2000}{2001}\times 0.9+\frac{41000}{2001}\times 0.117\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6060}{667}\\\frac{2199}{667}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x_{3} og x_{2}.

$$x_{3}=\frac{6060}{667},x_{2}=\frac{2199}{667}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9,-0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117$$

Til að gera \frac{41x_{3}}{1000} og -\frac{x_{3}}{500} jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -0.002 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 0.041.

$$-0.002\times 0.041x_{3}-0.002\times 0.16x_{2}=-0.002\times 0.9,0.041\left(-0.002\right)x_{3}+0.041\times 0.041x_{2}=0.041\times 0.117$$

Einfaldaðu.

$$-0.000082x_{3}-0.00032x_{2}=-0.0018,-0.000082x_{3}+0.001681x_{2}=0.004797$$

Dragðu -0.000082x_{3}+0.001681x_{2}=0.004797 frá -0.000082x_{3}-0.00032x_{2}=-0.0018 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-0.000082x_{3}+0.000082x_{3}-0.00032x_{2}-0.001681x_{2}=-0.0018-0.004797$$

Leggðu -\frac{41x_{3}}{500000} saman við \frac{41x_{3}}{500000}. Liðirnir -\frac{41x_{3}}{500000} og \frac{41x_{3}}{500000} núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-0.00032x_{2}-0.001681x_{2}=-0.0018-0.004797$$

Leggðu -\frac{x_{2}}{3125} saman við -\frac{1681x_{2}}{1000000}.

$$-0.002001x_{2}=-0.0018-0.004797$$

Leggðu -0.0018 saman við -0.004797 með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$-0.002001x_{2}=-0.006597$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -0.002001. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x_{2}=\frac{2199}{667}$$

Skiptu \frac{2199}{667} út fyrir x_{2} í -0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x_{3} strax.

$$-0.002x_{3}+0.041\times \frac{2199}{667}=0.117$$

Margfaldaðu 0.041 sinnum \frac{2199}{667} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$-0.002x_{3}+\frac{90159}{667000}=0.117$$

Dragðu \frac{90159}{667000} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-0.002x_{3}=-\frac{303}{16675}$$

Margfaldaðu báðar hliðar með -500.

$$x_{3}=\frac{6060}{667}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x_{3}=\frac{6060}{667},x_{2}=\frac{2199}{667}$$