Leysa {l}{0.04x+0.02y=5}{0.5(x-2)-0.4y=29}

$$\left. \begin{array} { l } { 0.04 x + 0.02 y = 5 } \\ { 0.5 ( x - 2 ) - 0.4 y = 29 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=100$$

$$y=50$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$0.04x+0.02y=5,0.5\left(x-2\right)-0.4y=29$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$0.04x+0.02y=5$$

Dragðu \frac{y}{50} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$0.04x=-0.02y+5$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 25.

$$x=25\left(-0.02y+5\right)$$

Margfaldaðu 25 sinnum -\frac{y}{50}+5.

$$x=-0.5y+125$$

Settu -\frac{y}{2}+125 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 0.5\left(x-2\right)-0.4y=29.

$$0.5\left(-0.5y+125-2\right)-0.4y=29$$

Leggðu 125 saman við -2.

$$0.5\left(-0.5y+123\right)-0.4y=29$$

Margfaldaðu 0.5 sinnum -\frac{y}{2}+123.

$$-0.25y+61.5-0.4y=29$$

Leggðu -\frac{y}{4} saman við -\frac{2y}{5}.

$$-0.65y+61.5=29$$

Dragðu 61.5 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-0.65y=-32.5$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -0.65. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=50$$

Skiptu 50 út fyrir y í x=-0.5y+125. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-0.5\times 50+125$$

Margfaldaðu -0.5 sinnum 50.

$$x=-25+125$$

Leggðu 125 saman við -25.

$$x=100$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=100,y=50$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$0.04x+0.02y=5,0.5\left(x-2\right)-0.4y=29$$

Einfaldaðu aðra jöfnuna til að setja hana í staðlað form.

$$0.5\left(x-2\right)-0.4y=29$$

Margfaldaðu 0.5 sinnum x-2.

$$0.5x-1-0.4y=29$$

Leggðu 1 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$0.5x-0.4y=30$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.4}{0.04\left(-0.4\right)-0.02\times 0.5}&-\frac{0.02}{0.04\left(-0.4\right)-0.02\times 0.5}\\-\frac{0.5}{0.04\left(-0.4\right)-0.02\times 0.5}&\frac{0.04}{0.04\left(-0.4\right)-0.02\times 0.5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{200}{13}&\frac{10}{13}\\\frac{250}{13}&-\frac{20}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{200}{13}\times 5+\frac{10}{13}\times 30\\\frac{250}{13}\times 5-\frac{20}{13}\times 30\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\50\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=100,y=50$$