Leysa {l}{-x-3y=12}{-5x-9y=18}

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 3 y = 12 } \\ { - 5 x - 9 y = 18 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=9$$

$$y=-7$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-x-3y=12,-5x-9y=18$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-x-3y=12$$

Leggðu 3y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-x=3y+12$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$x=-\left(3y+12\right)$$

Margfaldaðu -1 sinnum 12+3y.

$$x=-3y-12$$

Settu -3y-12 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -5x-9y=18.

$$-5\left(-3y-12\right)-9y=18$$

Margfaldaðu -5 sinnum -3y-12.

$$15y+60-9y=18$$

Leggðu 15y saman við -9y.

$$6y+60=18$$

Dragðu 60 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$6y=-42$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$y=-7$$

Skiptu -7 út fyrir y í x=-3y-12. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-3\left(-7\right)-12$$

Margfaldaðu -3 sinnum -7.

$$x=21-12$$

Leggðu -12 saman við 21.

$$x=9$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=9,y=-7$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-x-3y=12,-5x-9y=18$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-1&-3\\-5&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\18\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-1&-3\\-5&-9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-3\\-5&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-3\\-5&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-3\\-5&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\18\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-3\\-5&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\18\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-3\\-5&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\18\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{-\left(-9\right)-\left(-3\left(-5\right)\right)}&-\frac{-3}{-\left(-9\right)-\left(-3\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{-\left(-9\right)-\left(-3\left(-5\right)\right)}&-\frac{1}{-\left(-9\right)-\left(-3\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\18\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{5}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\18\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\times 12-\frac{1}{2}\times 18\\-\frac{5}{6}\times 12+\frac{1}{6}\times 18\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-7\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=9,y=-7$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-x-3y=12,-5x-9y=18$$

Til að gera -x og -5x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -1.

$$-5\left(-1\right)x-5\left(-3\right)y=-5\times 12,-\left(-5\right)x-\left(-9y\right)=-18$$

Einfaldaðu.

$$5x+15y=-60,5x+9y=-18$$

Dragðu 5x+9y=-18 frá 5x+15y=-60 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$5x-5x+15y-9y=-60+18$$

Leggðu 5x saman við -5x. Liðirnir 5x og -5x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$15y-9y=-60+18$$

Leggðu 15y saman við -9y.

$$6y=-60+18$$

Leggðu -60 saman við 18.

$$6y=-42$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$y=-7$$

Skiptu -7 út fyrir y í -5x-9y=18. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-5x-9\left(-7\right)=18$$

Margfaldaðu -9 sinnum -7.

$$-5x+63=18$$

Dragðu 63 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-5x=-45$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$x=9$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=9,y=-7$$