Leysa {l}{-x-2y=-10}{-7x-8y=-16}

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 2 y = - 10 } \\ { - 7 x - 8 y = - 16 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-8$$

$$y=9$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-x-2y=-10,-7x-8y=-16$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-x-2y=-10$$

Leggðu 2y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-x=2y-10$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$x=-\left(2y-10\right)$$

Margfaldaðu -1 sinnum -10+2y.

$$x=-2y+10$$

Settu -2y+10 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -7x-8y=-16.

$$-7\left(-2y+10\right)-8y=-16$$

Margfaldaðu -7 sinnum -2y+10.

$$14y-70-8y=-16$$

Leggðu 14y saman við -8y.

$$6y-70=-16$$

Leggðu 70 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$6y=54$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$y=9$$

Skiptu 9 út fyrir y í x=-2y+10. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-2\times 9+10$$

Margfaldaðu -2 sinnum 9.

$$x=-18+10$$

Leggðu 10 saman við -18.

$$x=-8$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-8,y=9$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-x-2y=-10,-7x-8y=-16$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-1&-2\\-7&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-1&-2\\-7&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\-7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-2\\-7&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\-7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\-7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\-7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-\left(-8\right)-\left(-2\left(-7\right)\right)}&-\frac{-2}{-\left(-8\right)-\left(-2\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{-\left(-8\right)-\left(-2\left(-7\right)\right)}&-\frac{1}{-\left(-8\right)-\left(-2\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{7}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\left(-10\right)-\frac{1}{3}\left(-16\right)\\-\frac{7}{6}\left(-10\right)+\frac{1}{6}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\9\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-8,y=9$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-x-2y=-10,-7x-8y=-16$$

Til að gera -x og -7x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -7 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -1.

$$-7\left(-1\right)x-7\left(-2\right)y=-7\left(-10\right),-\left(-7\right)x-\left(-8y\right)=-\left(-16\right)$$

Einfaldaðu.

$$7x+14y=70,7x+8y=16$$

Dragðu 7x+8y=16 frá 7x+14y=70 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$7x-7x+14y-8y=70-16$$

Leggðu 7x saman við -7x. Liðirnir 7x og -7x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$14y-8y=70-16$$

Leggðu 14y saman við -8y.

$$6y=70-16$$

Leggðu 70 saman við -16.

$$6y=54$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$y=9$$

Skiptu 9 út fyrir y í -7x-8y=-16. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-7x-8\times 9=-16$$

Margfaldaðu -8 sinnum 9.

$$-7x-72=-16$$

Leggðu 72 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-7x=56$$

Deildu báðum hliðum með -7.

$$x=-8$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-8,y=9$$