Leysa {l}{-x+y=-9}{2x+2y=14}

$$\left. \begin{array} { l } { - x + y = - 9 } \\ { 2 x + 2 y = 14 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=8$$

$$y=-1$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-x+y=-9,2x+2y=14$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-x+y=-9$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-x=-y-9$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$x=-\left(-y-9\right)$$

Margfaldaðu -1 sinnum -y-9.

$$x=y+9$$

Settu y+9 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+2y=14.

$$2\left(y+9\right)+2y=14$$

Margfaldaðu 2 sinnum y+9.

$$2y+18+2y=14$$

Leggðu 2y saman við 2y.

$$4y+18=14$$

Dragðu 18 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4y=-4$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$y=-1$$

Skiptu -1 út fyrir y í x=y+9. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-1+9$$

Leggðu 9 saman við -1.

$$x=8$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=8,y=-1$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-x+y=-9,2x+2y=14$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-1&1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\14\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-1&1\\2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\14\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\14\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\14\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-2-2}&-\frac{1}{-2-2}\\-\frac{2}{-2-2}&-\frac{1}{-2-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\14\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\14\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\left(-9\right)+\frac{1}{4}\times 14\\\frac{1}{2}\left(-9\right)+\frac{1}{4}\times 14\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=8,y=-1$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-x+y=-9,2x+2y=14$$

Til að gera -x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -1.

$$2\left(-1\right)x+2y=2\left(-9\right),-2x-2y=-14$$

Einfaldaðu.

$$-2x+2y=-18,-2x-2y=-14$$

Dragðu -2x-2y=-14 frá -2x+2y=-18 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-2x+2x+2y+2y=-18+14$$

Leggðu -2x saman við 2x. Liðirnir -2x og 2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$2y+2y=-18+14$$

Leggðu 2y saman við 2y.

$$4y=-18+14$$

Leggðu -18 saman við 14.

$$4y=-4$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$y=-1$$

Skiptu -1 út fyrir y í 2x+2y=14. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x+2\left(-1\right)=14$$

Margfaldaðu 2 sinnum -1.

$$2x-2=14$$

Leggðu 2 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=16$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=8$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=8,y=-1$$