Leysa {l}{-8x+4y=12}{8x-3y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x + 4 y = 12 } \\ { 8 x - 3 y = - 3 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=3$$

$$y=9$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-8x+4y=12,8x-3y=-3$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-8x+4y=12$$

Dragðu 4y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-8x=-4y+12$$

Deildu báðum hliðum með -8.

$$x=-\frac{1}{8}\left(-4y+12\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{8} sinnum -4y+12.

$$x=\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}$$

Settu \frac{-3+y}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 8x-3y=-3.

$$8\left(\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}\right)-3y=-3$$

Margfaldaðu 8 sinnum \frac{-3+y}{2}.

$$4y-12-3y=-3$$

Leggðu 4y saman við -3y.

$$y-12=-3$$

Leggðu 12 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$y=9$$

Skiptu 9 út fyrir y í x=\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1}{2}\times 9-\frac{3}{2}$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum 9.

$$x=\frac{9-3}{2}$$

Leggðu -\frac{3}{2} saman við \frac{9}{2} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=9$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-8x+4y=12,8x-3y=-3$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-8&4\\8&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-8\left(-3\right)-4\times 8}&-\frac{4}{-8\left(-3\right)-4\times 8}\\-\frac{8}{-8\left(-3\right)-4\times 8}&-\frac{8}{-8\left(-3\right)-4\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&\frac{1}{2}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\times 12+\frac{1}{2}\left(-3\right)\\12-3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\9\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=3,y=9$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-8x+4y=12,8x-3y=-3$$

Til að gera -8x og 8x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 8 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -8.

$$8\left(-8\right)x+8\times 4y=8\times 12,-8\times 8x-8\left(-3\right)y=-8\left(-3\right)$$

Einfaldaðu.

$$-64x+32y=96,-64x+24y=24$$

Dragðu -64x+24y=24 frá -64x+32y=96 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-64x+64x+32y-24y=96-24$$

Leggðu -64x saman við 64x. Liðirnir -64x og 64x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$32y-24y=96-24$$

Leggðu 32y saman við -24y.

$$8y=96-24$$

Leggðu 96 saman við -24.

$$8y=72$$

Deildu báðum hliðum með 8.

$$y=9$$

Skiptu 9 út fyrir y í 8x-3y=-3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$8x-3\times 9=-3$$

Margfaldaðu -3 sinnum 9.

$$8x-27=-3$$

Leggðu 27 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$8x=24$$

Deildu báðum hliðum með 8.

$$x=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=9$$