Leysa {l}{-71x+45-41y=0}{-30x+21y-80=0}

$$\left. \begin{array} { l } { - 71 x + 45 - 41 y = 0 } \\ { - 30 x + 21 y - 80 = 0 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-\frac{2335}{2721}\approx -0.85814039$$

$$y = \frac{7030}{2721} = 2\frac{1588}{2721} \approx 2.583608967$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-71x-41y+45=0,-30x+21y-80=0$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-71x-41y+45=0$$

Dragðu 45 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-71x-41y=-45$$

Leggðu 41y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-71x=41y-45$$

Deildu báðum hliðum með -71.

$$x=-\frac{1}{71}\left(41y-45\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{71} sinnum 41y-45.

$$x=-\frac{41}{71}y+\frac{45}{71}$$

Settu \frac{-41y+45}{71} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -30x+21y-80=0.

$$-30\left(-\frac{41}{71}y+\frac{45}{71}\right)+21y-80=0$$

Margfaldaðu -30 sinnum \frac{-41y+45}{71}.

$$\frac{1230}{71}y-\frac{1350}{71}+21y-80=0$$

Leggðu \frac{1230y}{71} saman við 21y.

$$\frac{2721}{71}y-\frac{1350}{71}-80=0$$

Leggðu -\frac{1350}{71} saman við -80.

$$\frac{2721}{71}y-\frac{7030}{71}=0$$

Leggðu \frac{7030}{71} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{2721}{71}y=\frac{7030}{71}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{2721}{71}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{7030}{2721}$$

Skiptu \frac{7030}{2721} út fyrir y í x=-\frac{41}{71}y+\frac{45}{71}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{41}{71}\times \frac{7030}{2721}+\frac{45}{71}$$

Margfaldaðu -\frac{41}{71} sinnum \frac{7030}{2721} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{288230}{193191}+\frac{45}{71}$$

Leggðu \frac{45}{71} saman við -\frac{288230}{193191} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-\frac{2335}{2721}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{2335}{2721},y=\frac{7030}{2721}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-71x-41y+45=0,-30x+21y-80=0$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-71&-41\\-30&21\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-45\\80\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-71&-41\\-30&21\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-71&-41\\-30&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-71&-41\\-30&21\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-71&-41\\-30&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-45\\80\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-71&-41\\-30&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-45\\80\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-71&-41\\-30&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-45\\80\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{21}{-71\times 21-\left(-41\left(-30\right)\right)}&-\frac{-41}{-71\times 21-\left(-41\left(-30\right)\right)}\\-\frac{-30}{-71\times 21-\left(-41\left(-30\right)\right)}&-\frac{71}{-71\times 21-\left(-41\left(-30\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-45\\80\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{907}&-\frac{41}{2721}\\-\frac{10}{907}&\frac{71}{2721}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-45\\80\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{907}\left(-45\right)-\frac{41}{2721}\times 80\\-\frac{10}{907}\left(-45\right)+\frac{71}{2721}\times 80\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2335}{2721}\\\frac{7030}{2721}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{2335}{2721},y=\frac{7030}{2721}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-71x-41y+45=0,-30x+21y-80=0$$

Til að gera -71x og -30x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -30 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -71.

$$-30\left(-71\right)x-30\left(-41\right)y-30\times 45=0,-71\left(-30\right)x-71\times 21y-71\left(-80\right)=0$$

Einfaldaðu.

$$2130x+1230y-1350=0,2130x-1491y+5680=0$$

Dragðu 2130x-1491y+5680=0 frá 2130x+1230y-1350=0 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2130x-2130x+1230y+1491y-1350-5680=0$$

Leggðu 2130x saman við -2130x. Liðirnir 2130x og -2130x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$1230y+1491y-1350-5680=0$$

Leggðu 1230y saman við 1491y.

$$2721y-1350-5680=0$$

Leggðu -1350 saman við -5680.

$$2721y-7030=0$$

Leggðu 7030 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2721y=7030$$

Deildu báðum hliðum með 2721.

$$y=\frac{7030}{2721}$$

Skiptu \frac{7030}{2721} út fyrir y í -30x+21y-80=0. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-30x+21\times \frac{7030}{2721}-80=0$$

Margfaldaðu 21 sinnum \frac{7030}{2721}.

$$-30x+\frac{49210}{907}-80=0$$

Leggðu \frac{49210}{907} saman við -80.

$$-30x-\frac{23350}{907}=0$$

Leggðu \frac{23350}{907} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-30x=\frac{23350}{907}$$

Deildu báðum hliðum með -30.

$$x=-\frac{2335}{2721}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{2335}{2721},y=\frac{7030}{2721}$$