Leysa {l}{-3y+4x=13}{-5y-6x=-67}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 y + 4 x = 13 } \\ { - 5 y - 6 x = - 67 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir y, x

$$x=7$$

$$y=5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-3y+4x=13,-5y-6x=-67$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$-3y+4x=13$$

Dragðu 4x frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-3y=-4x+13$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$y=-\frac{1}{3}\left(-4x+13\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{3} sinnum -4x+13.

$$y=\frac{4}{3}x-\frac{13}{3}$$

Settu \frac{4x-13}{3} inn fyrir y í hinni jöfnunni, -5y-6x=-67.

$$-5\left(\frac{4}{3}x-\frac{13}{3}\right)-6x=-67$$

Margfaldaðu -5 sinnum \frac{4x-13}{3}.

$$-\frac{20}{3}x+\frac{65}{3}-6x=-67$$

Leggðu -\frac{20x}{3} saman við -6x.

$$-\frac{38}{3}x+\frac{65}{3}=-67$$

Dragðu \frac{65}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{38}{3}x=-\frac{266}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{38}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=7$$

Skiptu 7 út fyrir x í y=\frac{4}{3}x-\frac{13}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=\frac{4}{3}\times 7-\frac{13}{3}$$

Margfaldaðu \frac{4}{3} sinnum 7.

$$y=\frac{28-13}{3}$$

Leggðu -\frac{13}{3} saman við \frac{28}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$y=5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=5,x=7$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-3y+4x=13,-5y-6x=-67$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-3\left(-6\right)-4\left(-5\right)}&-\frac{4}{-3\left(-6\right)-4\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{-3\left(-6\right)-4\left(-5\right)}&-\frac{3}{-3\left(-6\right)-4\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{19}&-\frac{2}{19}\\\frac{5}{38}&-\frac{3}{38}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{19}\times 13-\frac{2}{19}\left(-67\right)\\\frac{5}{38}\times 13-\frac{3}{38}\left(-67\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=5,x=7$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-3y+4x=13,-5y-6x=-67$$

Til að gera -3y og -5y jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -3.

$$-5\left(-3\right)y-5\times 4x=-5\times 13,-3\left(-5\right)y-3\left(-6\right)x=-3\left(-67\right)$$

Einfaldaðu.

$$15y-20x=-65,15y+18x=201$$

Dragðu 15y+18x=201 frá 15y-20x=-65 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$15y-15y-20x-18x=-65-201$$

Leggðu 15y saman við -15y. Liðirnir 15y og -15y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-20x-18x=-65-201$$

Leggðu -20x saman við -18x.

$$-38x=-65-201$$

Leggðu -65 saman við -201.

$$-38x=-266$$

Deildu báðum hliðum með -38.

$$x=7$$

Skiptu 7 út fyrir x í -5y-6x=-67. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$-5y-6\times 7=-67$$

Margfaldaðu -6 sinnum 7.

$$-5y-42=-67$$

Leggðu 42 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-5y=-25$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$y=5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=5,x=7$$