Leysa {l}{-3x+y=1}{-3x+2y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + y = 1 } \\ { - 3 x + 2 y = 5 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=1$$

$$y=4$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-3x+y=1,-3x+2y=5$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-3x+y=1$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-3x=-y+1$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-y+1\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{3} sinnum -y+1.

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}$$

Settu \frac{-1+y}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -3x+2y=5.

$$-3\left(\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}\right)+2y=5$$

Margfaldaðu -3 sinnum \frac{-1+y}{3}.

$$-y+1+2y=5$$

Leggðu -y saman við 2y.

$$y+1=5$$

Dragðu 1 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$y=4$$

Skiptu 4 út fyrir y í x=\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1}{3}\times 4-\frac{1}{3}$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum 4.

$$x=\frac{4-1}{3}$$

Leggðu -\frac{1}{3} saman við \frac{4}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=4$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-3x+y=1,-3x+2y=5$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-3&1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-3&1\\-3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-3\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{1}{-3\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{-3\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{3}{-3\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\times 5\\-1+5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=1,y=4$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-3x+y=1,-3x+2y=5$$

Dragðu -3x+2y=5 frá -3x+y=1 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-3x+3x+y-2y=1-5$$

Leggðu -3x saman við 3x. Liðirnir -3x og 3x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$y-2y=1-5$$

Leggðu y saman við -2y.

$$-y=1-5$$

Leggðu 1 saman við -5.

$$-y=-4$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$y=4$$

Skiptu 4 út fyrir y í -3x+2y=5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-3x+2\times 4=5$$

Margfaldaðu 2 sinnum 4.

$$-3x+8=5$$

Dragðu 8 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-3x=-3$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=4$$