Leysa {l}{-2x+6y=0}{-7x+8y=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x + 6 y = 0 } \\ { - 7 x + 8 y = - 5 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{15}{13} = 1\frac{2}{13} \approx 1.153846154$$

$$y=\frac{5}{13}\approx 0.384615385$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-2x+6y=0,-7x+8y=-5$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-2x+6y=0$$

Dragðu 6y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-2x=-6y$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-6\right)y$$

Margfaldaðu -\frac{1}{2} sinnum -6y.

$$x=3y$$

Settu 3y inn fyrir x í hinni jöfnunni, -7x+8y=-5.

$$-7\times 3y+8y=-5$$

Margfaldaðu -7 sinnum 3y.

$$-21y+8y=-5$$

Leggðu -21y saman við 8y.

$$-13y=-5$$

Deildu báðum hliðum með -13.

$$y=\frac{5}{13}$$

Skiptu \frac{5}{13} út fyrir y í x=3y. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=3\times \frac{5}{13}$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{5}{13}.

$$x=\frac{15}{13}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{15}{13},y=\frac{5}{13}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-2x+6y=0,-7x+8y=-5$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-2&6\\-7&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-2&6\\-7&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&6\\-7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&6\\-7&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&6\\-7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&6\\-7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&6\\-7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{-2\times 8-6\left(-7\right)}&-\frac{6}{-2\times 8-6\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{-2\times 8-6\left(-7\right)}&-\frac{2}{-2\times 8-6\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{13}&-\frac{3}{13}\\\frac{7}{26}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{13}\left(-5\right)\\-\frac{1}{13}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{13}\\\frac{5}{13}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{15}{13},y=\frac{5}{13}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-2x+6y=0,-7x+8y=-5$$

Til að gera -2x og -7x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -7 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -2.

$$-7\left(-2\right)x-7\times 6y=0,-2\left(-7\right)x-2\times 8y=-2\left(-5\right)$$

Einfaldaðu.

$$14x-42y=0,14x-16y=10$$

Dragðu 14x-16y=10 frá 14x-42y=0 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$14x-14x-42y+16y=-10$$

Leggðu 14x saman við -14x. Liðirnir 14x og -14x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-42y+16y=-10$$

Leggðu -42y saman við 16y.

$$-26y=-10$$

Deildu báðum hliðum með -26.

$$y=\frac{5}{13}$$

Skiptu \frac{5}{13} út fyrir y í -7x+8y=-5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-7x+8\times \frac{5}{13}=-5$$

Margfaldaðu 8 sinnum \frac{5}{13}.

$$-7x+\frac{40}{13}=-5$$

Dragðu \frac{40}{13} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-7x=-\frac{105}{13}$$

Deildu báðum hliðum með -7.

$$x=\frac{15}{13}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{15}{13},y=\frac{5}{13}$$