Leysa {l}{-2x+3y=-10}{-3x+3y=-3}hline

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x + 3 y = - 10 } \\ { - 3 x + 3 y = - 3 } \\ \hline \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-7$$

$$y=-8$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-2x+3y=-10,-3x+3y=-3$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-2x+3y=-10$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-2x=-3y-10$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-3y-10\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{2} sinnum -3y-10.

$$x=\frac{3}{2}y+5$$

Settu \frac{3y}{2}+5 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -3x+3y=-3.

$$-3\left(\frac{3}{2}y+5\right)+3y=-3$$

Margfaldaðu -3 sinnum \frac{3y}{2}+5.

$$-\frac{9}{2}y-15+3y=-3$$

Leggðu -\frac{9y}{2} saman við 3y.

$$-\frac{3}{2}y-15=-3$$

Leggðu 15 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-\frac{3}{2}y=12$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{3}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-8$$

Skiptu -8 út fyrir y í x=\frac{3}{2}y+5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{3}{2}\left(-8\right)+5$$

Margfaldaðu \frac{3}{2} sinnum -8.

$$x=-12+5$$

Leggðu 5 saman við -12.

$$x=-7$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-7,y=-8$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-2x+3y=-10,-3x+3y=-3$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-2&3\\-3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-2&3\\-3&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\-3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&3\\-3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\-3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\-3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\-3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-3\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-2\times 3-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{-2\times 3-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{-2\times 3-3\left(-3\right)}&-\frac{2}{-2\times 3-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10-\left(-3\right)\\-10-\frac{2}{3}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-8\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-7,y=-8$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-2x+3y=-10,-3x+3y=-3$$

Dragðu -3x+3y=-3 frá -2x+3y=-10 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-2x+3x+3y-3y=-10+3$$

Leggðu 3y saman við -3y. Liðirnir 3y og -3y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-2x+3x=-10+3$$

Leggðu -2x saman við 3x.

$$x=-10+3$$

Leggðu -10 saman við 3.

$$x=-7$$

Skiptu -7 út fyrir x í -3x+3y=-3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$-3\left(-7\right)+3y=-3$$

Margfaldaðu -3 sinnum -7.

$$21+3y=-3$$

Dragðu 21 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3y=-24$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$y=-8$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-7,y=-8$$