Leysa {l}{x-3/5=y-7/2}{11x=13y}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x - 3 } { 5 } = \frac { y - 7 } { 2 } } \\ { 11 x = 13 y } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=13$$

$$y=11$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 10, minnsta sameiginlega margfeldi 5,2.

$$2\left(x-3\right)=5\left(y-7\right)$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 2 með x-3.

$$2x-6=5\left(y-7\right)$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 5 með y-7.

$$2x-6=5y-35$$

Dragðu 5y frá báðum hliðum.

$$2x-6-5y=-35$$

Bættu 6 við báðar hliðar.

$$2x-5y=-35+6$$

Leggðu saman -35 og 6 til að fá -29.

$$2x-5y=-29$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 13y frá báðum hliðum.

$$11x-13y=0$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x-5y=-29,11x-13y=0$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x-5y=-29$$

Leggðu 5y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=5y-29$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(5y-29\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum 5y-29.

$$x=\frac{5}{2}y-\frac{29}{2}$$

Settu \frac{5y-29}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 11x-13y=0.

$$11\left(\frac{5}{2}y-\frac{29}{2}\right)-13y=0$$

Margfaldaðu 11 sinnum \frac{5y-29}{2}.

$$\frac{55}{2}y-\frac{319}{2}-13y=0$$

Leggðu \frac{55y}{2} saman við -13y.

$$\frac{29}{2}y-\frac{319}{2}=0$$

Leggðu \frac{319}{2} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{29}{2}y=\frac{319}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{29}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=11$$

Skiptu 11 út fyrir y í x=\frac{5}{2}y-\frac{29}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{5}{2}\times 11-\frac{29}{2}$$

Margfaldaðu \frac{5}{2} sinnum 11.

$$x=\frac{55-29}{2}$$

Leggðu -\frac{29}{2} saman við \frac{55}{2} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=13$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=13,y=11$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 10, minnsta sameiginlega margfeldi 5,2.

$$2\left(x-3\right)=5\left(y-7\right)$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 2 með x-3.

$$2x-6=5\left(y-7\right)$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 5 með y-7.

$$2x-6=5y-35$$

Dragðu 5y frá báðum hliðum.

$$2x-6-5y=-35$$

Bættu 6 við báðar hliðar.

$$2x-5y=-35+6$$

Leggðu saman -35 og 6 til að fá -29.

$$2x-5y=-29$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 13y frá báðum hliðum.

$$11x-13y=0$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x-5y=-29,11x-13y=0$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{2\left(-13\right)-\left(-5\times 11\right)}&-\frac{-5}{2\left(-13\right)-\left(-5\times 11\right)}\\-\frac{11}{2\left(-13\right)-\left(-5\times 11\right)}&\frac{2}{2\left(-13\right)-\left(-5\times 11\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{29}&\frac{5}{29}\\-\frac{11}{29}&\frac{2}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{29}\left(-29\right)\\-\frac{11}{29}\left(-29\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=13,y=11$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 10, minnsta sameiginlega margfeldi 5,2.

$$2\left(x-3\right)=5\left(y-7\right)$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 2 með x-3.

$$2x-6=5\left(y-7\right)$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 5 með y-7.

$$2x-6=5y-35$$

Dragðu 5y frá báðum hliðum.

$$2x-6-5y=-35$$

Bættu 6 við báðar hliðar.

$$2x-5y=-35+6$$

Leggðu saman -35 og 6 til að fá -29.

$$2x-5y=-29$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 13y frá báðum hliðum.

$$11x-13y=0$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x-5y=-29,11x-13y=0$$

Til að gera 2x og 11x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 11 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$11\times 2x+11\left(-5\right)y=11\left(-29\right),2\times 11x+2\left(-13\right)y=0$$

Einfaldaðu.

$$22x-55y=-319,22x-26y=0$$

Dragðu 22x-26y=0 frá 22x-55y=-319 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$22x-22x-55y+26y=-319$$

Leggðu 22x saman við -22x. Liðirnir 22x og -22x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-55y+26y=-319$$

Leggðu -55y saman við 26y.

$$-29y=-319$$

Deildu báðum hliðum með -29.

$$y=11$$

Skiptu 11 út fyrir y í 11x-13y=0. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$11x-13\times 11=0$$

Margfaldaðu -13 sinnum 11.

$$11x-143=0$$

Leggðu 143 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$11x=143$$

Deildu báðum hliðum með 11.

$$x=13$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=13,y=11$$