Leysa {l}{x/5-2=y/10}{5x+45=-7y}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 5 } - 2 = \frac { y } { 10 } } \\ { 5 x + 45 = - 7 y } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=5$$

$$y=-10$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 10, minnsta sameiginlega margfeldi 5,10.

$$2x-20=y$$

Dragðu y frá báðum hliðum.

$$2x-20-y=0$$

Bættu 20 við báðar hliðar. Allt sem er lagt saman við núll skilar sjálfu sér.

$$2x-y=20$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu 7y við báðar hliðar.

$$5x+45+7y=0$$

Dragðu 45 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$5x+7y=-45$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x-y=20,5x+7y=-45$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x-y=20$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=y+20$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+20\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum y+20.

$$x=\frac{1}{2}y+10$$

Settu \frac{y}{2}+10 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 5x+7y=-45.

$$5\left(\frac{1}{2}y+10\right)+7y=-45$$

Margfaldaðu 5 sinnum \frac{y}{2}+10.

$$\frac{5}{2}y+50+7y=-45$$

Leggðu \frac{5y}{2} saman við 7y.

$$\frac{19}{2}y+50=-45$$

Dragðu 50 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{19}{2}y=-95$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{19}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-10$$

Skiptu -10 út fyrir y í x=\frac{1}{2}y+10. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1}{2}\left(-10\right)+10$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -10.

$$x=-5+10$$

Leggðu 10 saman við -5.

$$x=5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=5,y=-10$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 10, minnsta sameiginlega margfeldi 5,10.

$$2x-20=y$$

Dragðu y frá báðum hliðum.

$$2x-20-y=0$$

Bættu 20 við báðar hliðar. Allt sem er lagt saman við núll skilar sjálfu sér.

$$2x-y=20$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu 7y við báðar hliðar.

$$5x+45+7y=0$$

Dragðu 45 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$5x+7y=-45$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x-y=20,5x+7y=-45$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-\left(-5\right)}&-\frac{-1}{2\times 7-\left(-5\right)}\\-\frac{5}{2\times 7-\left(-5\right)}&\frac{2}{2\times 7-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{19}&\frac{1}{19}\\-\frac{5}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{19}\times 20+\frac{1}{19}\left(-45\right)\\-\frac{5}{19}\times 20+\frac{2}{19}\left(-45\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-10\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=5,y=-10$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 10, minnsta sameiginlega margfeldi 5,10.

$$2x-20=y$$

Dragðu y frá báðum hliðum.

$$2x-20-y=0$$

Bættu 20 við báðar hliðar. Allt sem er lagt saman við núll skilar sjálfu sér.

$$2x-y=20$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu 7y við báðar hliðar.

$$5x+45+7y=0$$

Dragðu 45 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$5x+7y=-45$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x-y=20,5x+7y=-45$$

Til að gera 2x og 5x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$5\times 2x+5\left(-1\right)y=5\times 20,2\times 5x+2\times 7y=2\left(-45\right)$$

Einfaldaðu.

$$10x-5y=100,10x+14y=-90$$

Dragðu 10x+14y=-90 frá 10x-5y=100 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$10x-10x-5y-14y=100+90$$

Leggðu 10x saman við -10x. Liðirnir 10x og -10x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-5y-14y=100+90$$

Leggðu -5y saman við -14y.

$$-19y=100+90$$

Leggðu 100 saman við 90.

$$-19y=190$$

Deildu báðum hliðum með -19.

$$y=-10$$

Skiptu -10 út fyrir y í 5x+7y=-45. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$5x+7\left(-10\right)=-45$$

Margfaldaðu 7 sinnum -10.

$$5x-70=-45$$

Leggðu 70 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5x=25$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=5,y=-10$$